Лекция 13

Урок 1. Активные линейные цепи с операционными усилителями

Электрическую цепь называют активной, если она содержит хотя бы один активный многополюсный элемент.

В качестве активных элементов применяют многоэлектродные электронные лампы, транзисторы и операционные усилители.

Особенности применения электронных ламп и транзисторов подробно рассматривают в курсе электроники. Мы же остановимся на рассмотрении идеальных воображаемых моделей операционных усилителей как основных шестиполюсников.

Определение:

Идеальным операционным усилителем (ИОУ) или нулором называют идеальный источник напряжения, управляемый напряжением (ИНУН), коэффициент передачи напряжения которого при любой частоте не ограничен.

Иначе говоря, идеальный операционный усилитель есть идеальный усилитель напряжения с неограниченным коэффициентом усиления на любой частоте.

Из сделанных определений следует, что идеальный ОУ имеет неограниченное входное и нулевое выходное сопротивление. Из-за неограниченного коэффициента усиления даже при отсутствии сигнала на входе такой воображаемой цепи на её выходе может быть некоторое напряжение. Это пример того, что идеальный ОУ есть пример неустойчивой цепи. Поэтому «сам по себе» вводимый идеальный элемент для рассмотрения неинтересен. Другое дело, если он включен в цепь, ограничивающую его коэффициент усиления. Поэтому данную модель рассматривают только в сочетании с внешними элементами. Тогда вводимый ИОУ оказывается удобным средством описания наиболее важных свойств реальных операционных усилителей, т.е. компонентов активных цепей.

Современные операционные усилители имеют конечный, но высокий коэффициент усиления до 10⁵ … 10⁶, т.е. до 100 … 120 дБ в диапазоне частот от нуля до десятков мегагерц.

Входное сопротивление ОУ достигает десятков мегаом, а выходное может составлять десятые доли ома.

Операционные усилители в настоящее время выпускают серийно в одном корпусе на основе интегральной технологии. Поэтому их рассматривают как элементы цепи.

Будем рассматривать операционные усилители в характерном для них режиме слабых выходных сигналов. При этом их можно считать линейными устройствами.

Обозначения на схемах:

На этих схемах входной вывод 1, помеченный знаком «-» или « », называют инвертирующим. Полярность приложенного к нему напряжения противоположна полярности напряжения на выходе. Вывод «2», отмеченный знаком «+», соответственно, неинвертирующий. Полярность напряжения на выводе 2 и на выходе 3 одинакова.

Согласно сделанному определению схема замещения идеального операционного усилителя такова:

На этой схеме ромб на изображении источника напряжения показывает, что этот источник управляемый. Его напряжение

Значит, комплексная амплитуда выходного напряжения пропорциональна разности амплитуд двух входных напряжений

Усилители, выходной сигнал которых пропорционален разности входных сигналов, называют дифференциальными (от differentia – разность).

Так как по определению коэффициент усиления , то при конечном напряжении на выходе разность . Значит, вход усилителя между узлами 1 и 2 не только не пропускает тока, т.е. является изолятором, но и напряжение на нем практически равно нулю, как у проводника.

Явление совместного обращения в нуль силы тока и напряжения на одном и том же участке цепи называют эффектом виртуального нуля.

Знание этого эффекта существенно облегчает расчет цепей с операционными усилителями.

Итак, когда рабочими являются оба входа операционного усилителя, это его дифференциальное включение. Кроме того, применяются такие режимы работы, когда один из входов соединяют с узлом 0.

Если общим сделать узел 2, т.е. неинвертирующий вход, то получаем инвертирующую схему включения усилителя.

И зобразим типовую принципиальную схему цепи с инвертирующим включением операционного усилителя.

На этой схеме двухполюсник с сопротивлением есть цепь обратной связи. Двухполюсник нужен для создания необходимого входного сопротивления цепи.

Найдем коэффициент усиления цепи при инвертирующем включении ОУ. Построим схему замещения.

Так как входное сопротивление ОУ между узлами 1 и 2 не ограничено, силы токов и равны. Из-за эффекта виртуального нуля, когда ,

Поэтому, при

Кроме того, из-за эффекта виртуального нуля

Выходное сопротивление цепи такое же, как и у ИОУ, т.е. .

Видно, что функция передачи ОУ целиком определяется параметрами внешних пассивных элементов (и входное сопротивление – тоже!).

Это свойство позволяет гибко управлять усилителем и обуславливает многообразие его возможных применений.

Рассмотрим некоторые примеры:

1. Пусть и , тогда

Если еще , то получается инвертирующий усилитель;

2. Если

Как известно, деление комплексной амплитуды выходного сигнала на мнимую частоту отражает факт интегрирования этого сигнала. Значит, мы получаем интегратор сигналов с инверсией (интегратор Миллера);

3. Если, наоборот,

Получается дифференцирующая цепь с инверсией. Если ещё , то имеем дифференцирующий усилитель.

Перейдем к варианту неинвертирующего включения ОУ.

Пользуясь схемой замещения для этого варианта, нетрудно найти, что

Кроме того, .

Применяя неинвертирующее включение, можно реализовать те же функции, что и для инвертирующего включения, но, конечно, без инверсии выходного сигнала. Но есть такие, которые можно реализовать только при неинвертирующем включении.

Примем, к примеру, что , а , т.е. представим, что двухполюсника нет. Тогда , т.е. напряжения на входе и выходе имеют одинаковые амплитуды и фазы. Получился так называемый повторитель напряжения. В отличие от проводника, для которого также , входное сопротивление повторителя неограниченно, а выходное сопротивление равно нулю. Благодаря этому, любой источник, подключенный ко входу повторителя, для нагрузки этого повторителя, будет идеальным источником напряжения. Соответственно, любая нагрузка, если её подключить через повторитель, не будет оказывать влияние на режим цепей, подключенных ко входу повторителя.

Поэтому повторитель называют ещё буферным устройством или, короче, буфером.

Рассматривая выражения для функции передачи

можно заметить, что операционные усилители могут реализовать любую функцию передачи, которую получают от пассивных линейных цепей. Однако наиболее интересны те варианты, которые не могут быть реализованы линейными пассивными цепями.

К примеру, только с применением операционных усилителей удается реализовать с достаточной точностью операции дифференцирования и интегрирования сигналов. При неинверирующем включении могут быть реализованы функции передачи в виде неправильных дробей, что для линейных пассивных цепей невозможно.

Операционные усилители являются основными элементами так называемых активных фильтров. Благодаря этим усилителям удается реализовать фильтры из резисторов и конденсаторов, параметры которых не хуже параметров реактивных фильтров.

Урок 2. Стандартные сигналы и временные характеристики линейных цепей

При расчете или экспериментальном исследовании цепей находят реакции цепи на небольшое число испытательных или стандартных сигналов. Если известны реакции цепи на эти сигналы, то можно достаточно просто определить реакцию на другие, произвольно выбранные сигналы.

Некоторые из стандартных сигналов мы уже применяли – это гармонические колебания или, в частности, постоянный ток. Рассмотрим дополнительно ещё два таких сигнала.

Единичная ступенчатая функция

(Единичная функция, единичный скачок, функция Хевисайда)

При рассмотрении переходных процессов в линейных цепях, возникающих из-за коммутации источников постоянного напряжения или тока, нет необходимости учитывать уровень входных сигналов или время коммутации. Достаточно рассмотреть реакции цепи при единых, стандартных, заранее оговоренных условиях.

Приведенные рассуждения обосновывают введение как модели сигнала при коммутации единичной ступенчатой функции 1(t-t₀).

График этой функции следующий:

Аналитическая запись:

где – момент скачка единичного уровня.

Самым важным из свойств единичной ступенчатой функции является укорачивающее свойство:

Для любой функции f(t), ограниченной в момент коммутации t₀ , произведение

Значит, умножение функции на единичную функцию приводит к «отсечению» значений функции для всех моментов t < t₀. Это равносильно действию идеального ключа, подключающего к цепи источник сигнала в момент времени t = t₀.

Интересно, что сама функция 1(t) есть укороченная постоянная величина, т.е. 1(t) = 11(t).

Единичная ступенчатая функция есть удобный вариант описания реальных сигналов и реакций на них, имеющих момент возникновения или окончания.

Определяя реакцию цепи на введенный сигнал , необходимо учитывать, что элементы линейной цепи производят интегрирование или дифференцирование сигналов. Если интегрирование единичного сигнала проблемы не составляет, то для описания результата дифференцирования необходимо ввести специальную функцию.

Единичная импульсная функция

(Дельта-функция, функция Дирака)

Единичной импульсной функцией, дельта-функцией или функцией Дирака называют функцию, получаемую при дифференцировании единичной ступенчатой функции (функции Хэвисийда):

Учитывая, что единичная ступенчатая функция имеет постоянные значения почти всюду, за исключением одной точки , где функция терпит разрыв, то график -функциии как график производной существует только в точке t = t₀, причем при этом значении аргумента значение функции неограниченно.

Представим график -функциии.

Тот факт, что единственное значение дельта-функции неограниченно, отмечен на графике стрелкой (или пунктиром).

Согласно графику

В курсе высшей математики доказано, что площадь под «графиком» дельта-функции равна единице, т.е.

Это дополнительное условие единичной площади очень важно. Оно позволяет определить «размер» бесконечных разрывов различных сигналов в -функциях.

Основным, определяющим свойством является фильтрующее или стробирующее свойство дельта-функции (оно же свойство дискретизации или выборки).

Если функция f(t) ограничена и непрерывна в точке t₀ , то

Это свойство есть строгое математическое определение дельта-функции как линейного функционала в пространстве бесконечно дифференцируемых финитных функций f(t).

Как видно из этой формулы, с помощью дельта-функции можно выделить единственное значение сигнала f(t) для всякого заданного момента времени.

Временные характеристики линейной цепи

Реакции цепи на стандартные воздействия в виде единичных ступенчатой или импульсной функций выделяют как временные характеристики. Этих характеристик два вида – переходные и импульсные.

Переходной характеристикой цепи называют реакцию цепи на воздействие единичной ступенчатой функцией 1(t) при нулевых начальных условиях.

Иными словами, переходная характеристика есть стандартизованная реакция линейной цепи на коммутацию в момент t = 0 сигнала постоянного единичного уровня.

Обозначение переходной характеристики или . Ввиду того, что воздействие может быть в форме силы тока или напряжения, и реакции также в этих двух формах, различают переходные характеристики тока и переходные характеристики напряжения при действии источников напряжения или тока.

Импульсной характеристикой цепи называют её реакцию на воздействие единичной импульсной функции в момент t = 0 при нулевых начальных условиях.

Импульсную характеристику обозначают как g(t) или h_(t) .

Соответственно, есть импульсные характеристики напряжения или тока при действии -импульсов напряжения или силы тока.

Так как импульсная характеристика есть реакция линейной цепи на первую производную от единичного скачка, то, вследствие линейности цепи, она есть первая производная от реакции цепи на единичный скачок, т.е. от переходной характеристики, т.е.

Если размерность переходных характеристик есть размерность реакции цепи – напряжения или силы тока, то размерность импульсной характеристики суть размерности производных (скоростей) А/C или В/С.

Как следует из сделанных определений, переходная характеристика – это стандартизованный переходный процесс в линейной цепи при скачке входного напряжения или силы тока единичного размера в момент t = 0. Поэтому, можно считать, что переходные характеристики цепей первого и второго порядка нам знакомы. Мы их уже определяли. Так, например, переходная характеристика тока последовательной резистивно-емкостной цепи при действии источника напряжения с задающим напряжением E = 1 В

Здесь учтено, что реакция начинается в момент t = 0. Она не опережает момента скачка напряжения источника. Сомножитель отражает принцип причинности или каузальности, выполняемый для физически реализуемых цепей.

Найдем импульсную характеристику тока той же цепи.

Первое слагаемое этой записи существует только в момент t = 0. Оно показывает силу тока цепи в момент действия -импульса напряжения источника. В этот момент конденсатор мгновенно заряжается током с неограниченной силой . При заряде он, согласно закону коммутации, является проводником. Поэтому, сила зарядного тока определяется только сопротивлением резистора R.

Второе слагаемое показывает, как изменяется сила тока конденсатора, заряженного в начальный момент от источника. Полярность (направление) этого тока противоположна полярности тока заряда. Разряд конденсатора при t > 0 происходит по известному закону убывающей (по модулю) экспоненты. Скорость убывания силы разрядного тока определяется постоянной времени цепи .

Как видно из результатов примера, импульсная характеристика цепи при t > 0 есть свободный процесс цепи, т.е. процесс в свободном режиме. В момент t = 0 она описывает процесс мгновенного накопления ЭМП цепи, т.е. установления начальных условий.