Лекция 11
Урок 1. Резонансные характеристики и резонансные кривые
Последовательная резонансная цепь
Вернемся
к примеру последовательной резонансной
цепи. Запишем зависимость от частоты
комплексного сопротивления
,
отнесенного к сопротивлению потерь
.
Это отношение
Введем обозначение
и назовем
параметр
обобщенной расстройкой
текущей частоты
относительно резонансной частоты
.
Тогда
С другой стороны,
Значит
т.е. обобщенная расстройка есть отношение реактивного сопротивления цепи к активному, рассматриваемое как функция частоты.
Через
обобщенную расстройку можно выразить
и другие частотные зависимости. Найдем,
например, отношение комплексной амплитуды
силы тока в цепи при произвольной
частоте
к силе тока
Тогда зависимость модуля этого отношения от обобщенной расстройки
Зависимость
принято называть амплитудной
резонансной характеристикой (АРХ)
последовательной резонансной
цепи.
Соответственно, аргумент вычисленного отношения
есть фазовая резонансная характеристика (ФРХ).
Графики резонансных характеристик называют резонансными кривыми.
Изобразим резонансные кривые последовательной цепи в едином масштабе расстроек.
К АРХ и ФРХ для полноты анализа добавлена еще частотная зависимость
Приведенные
кривые показывают, что в режиме резонанса
амплитуда силы тока максимально
возможная, цепь является резистором
(
),
причем полное сопротивление цепи в
режиме резонанса минимально.
Из
графика
видно, что при
реакция цепи индуктивная.
При
она емкостная.
Для
высокодобротных резонансных цепей,
являющихся полосно-пропускающими
фильтрами, легко оценить полосы
пропускания по резонансным кривым.
Примем за границы полосы пропускания
– частоты среза – такие значения
частоты, при которых относительный
уровень силы тока равен
, т.е. (–3) дБ. Как видно из приведенных
графиков, этому уровню соответствует
обобщенные расстройки
.
Для
нахождения ширины полосы пропускания
в абсолютных частотах
,
учтем, что для высокодобротных цепей,
у которых
,
нас интересует относительно узкая
полоса частот, соизмеримых с резонансной,
т.е.
.
Перепишем формулу для обобщенной расстройки:
Из
условия
следует, что
.
Тогда
где
– абсолютная расстройка
текущей частоты относительно резонансной;
– относительная расстройка.
При расстройках, соответствующих относительному уровню АРХ, равному , т.е. при обобщенных расстройках получим равенство
где
– это искомая ширина полосы пропускания
по заданному уровню
.
Значит, она равна
и совпадает с затуханием цепи, т.е. величиной, обратной добротности.
Полученные соотношения удобны для расчета полосы пропускания полосового фильтра по его резонансной частоте и добротности Q. Кроме того, они дают удобный путь для экспериментальной оценки добротности по формуле
Параллельная резонансная цепь
Перейдем к определению резонансных характеристик параллельной резонансной цепи, питаемой от источника гармонического тока.
Как известно, последовательная цепь RLC, питаемая от источника напряжения, дуальна параллельной резонансной цепи, питаемой от источника тока. Поэтому для записи резонансных характеристик параллельной цепи учтем дуальные обозначения
Тогда для сравниваемых цепей
Значит, добротность параллельной цепи определяется по формуле, обратной добротности последовательной цепи. Она тем больше, чем больше сопротивление потерь .
(Обратите внимание на разные обозначения
и
!).
Обобщенная расстройка для параллельной резонансной цепи определена также, как для последовательной цепи, т.е.
При этом резонансные характеристики параллельной цепи выражаются такими же формулами, как одноименные характеристики последовательной цепи, а именно:
где
– напряжение на параллельной цепи в
режиме резонанса, т.е. при
и
;
АРХ:
ФРХ:
Соответственно резонансные кривые параллельной цепи такие же, как для последовательной цепи.
Приведенные формулы показывают, что:
– в режиме резонанса напряжение на параллельной цепи при питании от источника тока максимально. Оно равно ;
– в режиме резонанса параллельная цепь есть резистор.
При этом
;
–
резонансная проводимость
– это минимум полной проводимости,
достигаемой при условии
,
т.е.
;
– полное сопротивление параллельной цепи в режиме резонанса максимально;
–
при
,
т.е. при
реакция цепи ёмкостная. При
она индуктивная.
Заметим также, что полоса полосы пропускания и добротность параллельной резонансной цепи также могут быть определены по формулам
и
Урок 2. Системы параметров четырехполюсников
Будем описывать электрический режим линейных проходных четырехполюсников, не содержащих независимых источников. Именно такие четырехполюсники составляют основу радиоэлектронных устройств и средств связи.
Согласно принципам пропорциональности и наложения комплексные амплитуды сил токов на входах
(Обратите
внимание, что записан ток
«со штрихом», втекающий в четырехполюсник).
Все коэффициенты уравнений являются проводимостями. Их называют параметрами проводимости или Y- параметрами.
Перейдем к матричной записи уравнений. Примем обозначения
квадратная матрица из Y-параметров. Назовем её матрицей проводимостей.
Представим
теперь, что известны силы токов
и
, а нужно найти напряжения
и
.
Для их поиска имеем равенства
Выделим матрицу коэффициентов. Это квадратная четырехэлементная матрица
Это матрица сопротивлений. Её элементы – Z параметры.
Применяя сокращенные матричные обозначения, получим записи уравнений
Они суть варианты записи закона Ома в матричной форме.
Есть
и другие варианты записи линейных
зависимостей между силами токов и
напряжениями на входе и выходе цепи.
Представим, например, что известны
комплексная амплитуда напряжения
и сила тока
на выходе цепи – порту 2 – 2/ . Тогда
значения комплексных амплитуд процессов
на входе
В
этих записях коэффициенты называют
параметрами передачи или
А-параметрами. Размерности
их различны: параметры
и
как отношения сил токов или напряжений
– величины безразмерные. Параметр
есть сопротивление, а параметр
– проводимость.
Параметры одной системы, имеющие различную размерность, называют смешанными.
В матричной записи уравнения с А- параметрами имеют вид:
где
– матрица передачи или
матрица А-параметров.
Полученная матричная запись отражает ещё один закон теории линейных цепей, отличный от закона Ома.
Заметим ещё, что в уравнениях с А-параметрами в качестве выходного принимают ток, направление отсчета которого – из потенциального вывода четырехполюсника.
Кроме описанных трех систем уравнений и систем параметров существуют ещё три.
Это
– параметры.
Эти системы рекомендуется изучить самостоятельно.
Выясним смысл и способы определения введенных параметров. Для этого мысленно представляют или устанавливают экспериментально у изучаемых четырехполюсников четыре вила ненагруженного режима:
– режимы холостого хода по порту 1–1/ или порту 2–2/ ;
– режимы короткого замыкания по порту 1–1/ или порту 2–2/ .
При создании ненагруженных режимов по порту 1–1/ считают, что источники сигналов действуют по порту 2–2/ .
Пусть,
например, нам надо узнать смысл и
построить формулу для определения
параметра
.
Представим режим холостого хода по
порту 2–2/ , т.е. считаем, что сила
тока
.
Тогда из уравнения четырехполюсника
Значит, параметр есть входное сопротивление четырехполюсника со стороны порта 1–1/ в режиме холостого хода по порту 2–2/.
Аналогично, создав режим короткого замыкания по порту 2–2/, получаем, что параметр
т.е. параметр
– это входная проводимость
четырехполюсника со стороны порта 1–1/
в режиме короткого
замыкания по порту 2–2/.
По этому же принципу определяют и другие параметры.
Эту процедуру нужно проделать самостоятельно.
Из представленных формул и определений видно, что связь между параметрами различных систем не является простой. Так
оттого, что эти параметры определены для различных режимов, т.е. по существу, для цепей различной структуры.
Связи между параметрами различных систем введены в таблицу и находятся во всех учебниках и справочниках по теории цепей.
В некоторых случаях можно довольно просто найти необходимые связи. Так, рассматривая различные формы записи Ома в матричной форме нетрудно заметить, что матрица
Поэтому
параметр
как один из элементов обратной матрицы
определяется как
При этом равенство
может быть
получено только при условии, когда
параметры
или
равны нулю. Это будет в случае, когда
сигнал не передается через четырехполюсник,
и сам четырехполюсник распадается на
два двухполюсника, подключенные к
портам.
Во многих случаях параметры четырехполюсников определяются более простым способом, чем функции передачи. Поэтому предпочитают сначала определить расчетным путем (или проводя простые эксперименты) параметры цепи , а через них выразить функцию передачи.
Пусть
, например, нужно найти функцию передачи
напряжения цепи
по известной системе Y-параметров.
Для этого учтем, что входное напряжение
где
– сопротивление нагрузки.
Тогда из одного из уравнений четырехполюсника
Значит, функция передачи
Аналогично
В общем случае режим четырехполюсника описывается системами из четырех параметров.
Для обратимых цепей, к которым относятся все пассивных цепи, существуют связи:
Для симметричных цепей дополнительно
Входное сопротивление и проводимость четырехполюсника в нагруженном режиме
Рассмотрим свойства и особенности еще одного вида функций цепи – входных сопротивления и проводимости в нагруженном режиме. Они могут быть выражены через параметры четырехполюсника, определяемые, как известно , в ненагруженных режимах.
По определению входное сопротивление четырехполюсника со стороны порта 1–1/
(Знак
«минус», т.к.
)
Функция передачи тока
Поэтому
Аналогично находится и входная проводимость
В
этих выражениях первые слагаемые суть
входные функции в ненагруженных режимах.
Вторые слагаемые зависят от значений
переходных параметров (
и
или
и
)
. Если значения хоты бы одного из
перемножаемых параметров равны нулю,
то входные функции совпадают с параметрами
или
.
С ростом по модулю переходных параметров
входные функции все более отличаются
от входных параметров. Кроме того, вторые
слагаемые зависят от сопротивления
или проводимости нагрузки. Их называют
сопротивлением или проводимостью,
внесенными на вход четырехполюсника
нагрузкой или, короче, внесенными
сопротивлением или проводимостью.
Соответственно, значения
и
называют собственным входным
сопротивлением или проводимостью
соответственно. Обозначим внесенные
значения как
и
Тогда схемы замещения нагруженных четырехполюсников принимают вид:
