Лекция 10. Резонансные цепи и реактивные фильтры

Урок 1. Реактивные фильтры второго порядка

Фильтры низких частот

Н ачнем с изучения реактивного фильтра низких частот. Изобразим его схему.

Как видно, фильтр составлен из индуктора, последовательного источнику с напряжением , и конденсатора C, параллельно которому подключена нагрузка – резистор R_н .

Найдем функцию передачи напряжения. При этом учтем, что фильтр вместе с нагрузкой представляет собой последовательную цепь из двухполюсников с сопротивлениями:

Тогда

Введем частоту , нормированную к частоте осцилляций .

При этом,

и

где

– есть затухание нагруженного фильтра, т.е. величина, обратная его добротности

С учетом новых обозначений

Поэтому АЧХ

Построим семейство графиков АЧХ при различных значениях параметра . Кроме того, на том же поле чертежа штрихами намечена идеальная характеристика, к которой необходимо стремиться.

Как видно, форма реализуемых АЧХ отличается от идеальной прямоугольной. Наиболее близкими к АЧХ идеального ФНЧ оказываются характеристики, соответствующие нагруженному затуханию или добротности .

При получается наилучшая реализуемая максимально плоская характеристика.

При имеем оптимальную «равноволновую» АЧХ, и.т.д.

Значит, для реализации реактивных ФНЧ с наилучшими АЧХ нужно так подбирать сопротивление нагрузки R_н , чтобы затухание или добротность фильтра были близки к единице.

Итак, реактивные ФНЧ есть цепи второго порядка с малой добротностью!

Зададимся удобными условиями пропускания фильтра, т.е. правилами, по которым будем искать границы полосы пропускания.

В теории реактивных фильтров за частоты среза часто принимают те значения, при которых АЧХ принимает значения, равные единице.

Из условия при получаем, что

и ненормированные частоты среза

Перейдем теперь к логарифмической АЧХ.

Как для RC-фильтров, рассмотрим значения ЛАЧХ в глубине полосы пропускания и задерживания.

В полосе пропускания, когда

Наоборот, в полосе задерживания, когда

Значит, опять можно аппроксимировать ЛАЧХ двумя лучами, сходящимися на оси частот в точке с координатой . Луч, соответствующий ЛАЧХ в полосе задерживания, в логарифмических координатах будет наклонной прямой. При этом скорость убывания значений ЛАЧХ в полосе задерживания, т.е. крутизна среза, составляет . Эти значения вдвое больше, чем аналогичные параметры RC ФНЧ. Это означает, что с ростом частоты в 10 раз значения АЧХ снижаются в 100 раз, а не в 10 раз, как было у RC ФНЧ. Значит избирательность реактивных фильтров выше, чем у фильтров типа RC. Этот выигрыш достигается из-за того, что в реактивных фильтрах на один реактивный элемент (т.е. индуктор) больше.

Соответствующий расчет показывает, что время задержки сигнала в полосе пропускания равно

Значит, время задержки тем больше, чем меньше ширина полосы пропускания . Такая же тенденция наблюдалась и у RC ФНЧ.

Операторная функция передачи реактивного ФНЧ

Полюса функции передачи есть решения уравнения

Они равны

Тогда ненормированные координаты полюсов

При и коэффициент затухания

Поэтому свободный режим рассматриваемых фильтров – колебательный, а собственные частоты, т.е. координаты полюсов, есть комплексно-сопряженные числа.

где – угловая частота свободных колебаний, и

Построим карту полюсов реактивного ФНЧ

Как видно, полюсы функции передачи располагаются симметрично относительно оси на левой полуокружности радиуса . Их число совпадает с порядком цепи, т.е. с числом реактивных элементов. В отличие от полюсов RC фильтра НЧ полюсы реактивного фильтра – комплексно-сопряженные числа.

Фильтр высоких частот

Схема реактивного фильтра высоких частот получается из схемы низкочастотного фильтра путем взаимной замены элементов.

Соответственно, комплексная функция передачи

Она отличается от функции передачи НЧ фильтра числителем .

Амплитудно-частотная характеристика ВЧ фильтра

Значит, АЧХ ВЧ фильтра есть АЧХ фильтра НЧ, развернутая относительно вертикальной оси, восстановленной из точки . Соответственно, нижняя частота среза фильтра ВЧ совпадает с верхней частотой среза фильтра НЧ, т.е.

Карта полюсов и нулей ВЧ фильтра есть карта фильтра НЧ с добавлением двух нулей в начале координат.

Полостно-пропускающий фильтр второго порядка

Полостно-пропускающие реактивные фильтры (ППФ) можно строить по тем же схемам, что и фильтры НЧ и ВЧ. Отличие ППФ от ранее рассматриваемых фильтров в том, что они имеют большую добротность .

Вернемся к выражениям и графикам АЧХ низкочастотного реактивного фильтра. В случае высокой добротности получается, что максимум АЧХ достигается почти на частоте осцилляций , а его уровень . Эти соотношения тем точнее, чем больше добротность . Поэтому графики АЧХ рассмотренной цепи принимают следующий вид:

Расчеты показывают, что ширина полосы пропускания рассматриваемых фильтров по относительному уровню может быть вычислена по формуле

и относительная полоса пропускания

Полоса пропускания фильтра тем меньше, чем больше его добротность .

В свою очередь, добротность цепи

Это соотношение удобно применять для экспериментального определения добротности.

Крутизна среза в низкочастотной полосе задерживания у ППФ такая же, как у ФНЧ, т.е. .

Время задержки сигнала в полосе пропускания определяется простой формулой:

Оно обратно ширине пропускания. Эта тенденция такая же, как и для ФНЧ.

Урок 2. Резонансные цепи. Явление резонанса

Основные определения

Резонансными или колебательными цепями называют такие цепи, в которых может возникнуть явление резонанса.

Резонанс – это такой принужденный гармонический режим динамической цепи, при котором напряжение и сила тока цепи синфазны.

В режиме резонанса реактивное сопротивление, проводимость и мощность цепи равны нулю.

Частоты колебаний источника, при которых наблюдается резонанс, называют резонансными. Также называют резонансными значения силы тока, напряжения и активной мощности тока в режиме резонанса.

Наиболее простыми резонансными цепями являются такие, в схеме замещения которых имеется по одному обозначению идеальных резистора, индуктора и конденсатора. Значит, наиболее простые резонансные цепи – это цепи второго порядка.

Последовательная резонансная цепь

Последовательная резонансная цепь или последовательный колебательный контур – это уже исследовавшаяся известная нам последовательная резистивно-индуктивно-ёмкостная цепь, питаемая от источника гармонического напряжения.

Комплексное сопротивление такой цепи, как известно, равно

В режиме резонанса реактивное сопротивление X равно нулю, т.е.

откуда значение резонансной частоты

Следовательно, частота резонанса последовательной цепи равна частоте осцилляций, т.е. частоте свободных незатухающих колебаний этой цепи. Она тем выше, чем меньше индуктивность и ёмкость.

Выясним особенности режима резонанса. Выразим комплексные амплитуды силы общего тока и напряжений элементов через комплексную амплитуду напряжения источника.

В режиме резонанса сопротивление цепи

т.е. оно совпадает с сопротивлением потерь. Это минимально возможное сопротивление данной цепи гармоническому току. Соответственно, амплитуда силы тока в режиме резонанса – максимально возможная.

Поэтому комплексная амплитуда силы резонансного тока

Соответственно, комплексные амплитуды

Заметим, что отношения

равны друг другу и совпадают с добротностью цепи

где – сопротивление реактивных элементов резонансному току, называемое характеристическим сопротивлением.

Значит, добротность – отношение резонансного реактивного сопротивления к сопротивлению потерь.

Выразив реактивные сопротивления через добротность, получим

Кроме того, напряжение резистора

Итак, в режиме резонанса напряжение на резисторе совпадает с напряжением источника. Кроме того, амплитуды реактивных напряжений в Q раз отличаются от амплитуды напряжения источника.

Для высокодобротных цепей, у которых напряжения реактивных элементов значительно превышают напряжение на резисторе и напряжение источника.

С учетом обнаруженной особенности рассматриваемый режим называют резонансом напряжений.

Учитывая полученные соотношения можно считать, что добротность

может определяться как отношение амплитуд напряжения на одном из реактивных элементов и напряжения источника в режиме резонанса.

Помножим числитель и знаменатель на половину амплитуды силы общего резонансного тока. Тогда

т.е. добротность цепи есть отношение мощности тока каждого реактивного элемента к мощности тока резистора (активной мощности) в режиме резонанса.

Представим полученные соотношения наглядно с помощью векторной диаграммы. Зададимся начальным направлением радиус-вектора силы общего тока вверх и, в соответствии с полученными формулами, изобразим векторы напряжений.

Как видно из диаграммы, несмотря на то, что амплитуды реактивных напряжений самые большие, общее реактивное напряжение отсутствует. Это вызвано тем, что реактивные гармонические напряжения имеют одинаковые амплитуды, но противоположные фазы.

Так как реактивное напряжение цепи равно нулю, напряжение резистора совпадает с напряжением источника. Иными словами, для источника цепь в режиме резонанса есть резистор.

Реактивная часть цепи в целом внешне себя не проявляет. Она не оказывает сопротивления резонансному току, и представляет из себя самостоятельную замкнутую цепь. На это указывает тот факт, что сумма напряжений реактивных элементов равна нулю, что соответствует записи контурного уравнения

У читывая данные рассуждения, приходим к следующей схеме замещения последовательной цепи в режиме резонанса.

На схеме отмечен тот факт, что цепь в режиме резонанса распадается на две замкнутые цепи. Одна из них – это резистор, связанный с источником. Другая – цепь из идеальных индуктора и конденсатора. В этих цепях протекают токи с одинаковой силой . Значит, в рассматриваемом режиме реактивные элементы не нуждаются в источнике. Они сами являются дополнительными источниками, обменивающимися друг с другом переменным электромагнитным полем, и создающими единый ток силой , проходящий через внешний источник с напряжением . Единственная функция этого источника – компенсировать потери в цепи и поддерживать неизменный запас поля реактивных элементов.

Итак, в принужденном режиме резонанса режим реактивной части цепи такой же, как режим незатухающих свободных колебаний этой же цепи в отсутствии потерь. Поэтому, приходим к следующему выводу:

Резонанс – это особый принужденный гармонический режим цепи, при котором реактивные элементы обмениваются друг с другом электромагнитным полем без участия источника.

Они обмениваются полем только друг с другом, но не с источником.

Учитывая данный вывод легко понять такой, как кажется, парадоксальный факт, заключающийся в том, что напряжение, а, значит, и мощность тока отдельных элементов цепи оказывается превышающими и, притом, значительно соответствующие показатели источника.

Мощность тока источника соответствует мощности тока резистора. Она описывает преобразование электромагнитного поля источника в другие формы движения материи.

До установления описываемого гармонического режима, в переходном режиме при включении источника реактивные элементы цепи связаны с этим источником и получают от него начальное электромагнитное поле. При этом, у высокодобротных цепей оно таково, что мощность тока реактивных элементов значительно больше, чем мощность тока в установившемся режиме.

При общей для всех элементов силе резонансного тока эта большая мощность даёт большее напряжение реактивных элементов, что и т.д.

Параллельная резонансная цепь

П араллельная резонансная цепь – это цепь, в схеме замещения которой имеется по одному параллельно включенному резистору, индуктору и конденсатору, подключенным к источнику тока.

Эта цепь и её режим дуальны цепи и режиму последовательной резонансной цепи. Учитывая дуальность цепей, приходим к следующим выводам:

1. Резонансная частота параллельной цепи описывается той же формулой, что соответствующая частота последовательной цепи, т.е.

2. В режиме резонанса общая проводимость реактивных элементов цепи , и полная проводимость всей цепи , т.е. совпадает с проводимостью резистора.

При отклонении частоты колебаний источника от резонансной , реактивная проводимость цепи конечна. Поэтому, если , полное сопротивление параллельной цепи снижается.

Резонансное сопротивление параллельной цепи

это наибольшее возможное полное сопротивление гармоническому току; амплитуда напряжения на элементах цепи в режиме резонанса – максимально возможная.

3. Амплитуды сил токов реактивных элементов параллельной цепи в режиме резонанса равны друг другу и в Q раз отличаются от амплитуды силы тока источника , где Q – добротность цепи.

У высокодобротных цепей, для которых , сила реактивных токов значительно превышает силу тока источника. Поэтому резонанс параллельных цепей называют резонансом токов.

4. Схема замещения параллельной резонансной цепи для режима резонанса: