2. Схема вибору елементів, що приводить до розміщень.

Якщо дослід складається з вибору m елементів із множини, що складається з n елементів, без повернення, але з упорядкуванням їх по мірі відбору в послідовний ланцюг, то різними наслідками даного випробування будуть комбінації, що відрізняються або набором елементів, або порядком їх слідування. Отримані комбінації називаються розміщеннями з n елементів по m, а їх загальна кількість визначається за формулою:

Наприклад:

В змаганнях приймають участь 8 команд. Скільки припущень можна зробити про команди, що зайняли перші 3 призові місця?

Окремим випадком розміщень, якщо n=m, випробування складається з довільного упорядкування множини елементів, а комбінації отримуються як результат переставлення елементів множини. Такі комбінації називаються переставленнями із n елементів та обчислюються за формулою:

де п – кількість елементів в комбінації

Наприклад:

Скількома способами можна розмістити 10 кульок різного кольору в один ряд?

3. Схема вибору елементів, що приводить до сполучень з повтореннями.

Якщо випробування проводиться з вибором та наступним поверненням елементів у множину, але без наступного упорядкування, то різноманітними наслідками даного випробування будуть комбінації елементів, що відрізняються тільки складом. При цьому дані комбінації можуть містити елементи, що повторюються. Такі комбінації називають сполученнями з повтореннями з n елементів по m та визначаються за формулою:

Наприклад:

В бібліотеці містяться книги по 16 розділам науки. Надійшли 4 нових замовлення на літературу. Вважаючи будь-який склад замовленої літератури рівно можливим, знайти ймовірність того, замовлені книги з різних розділів науки

4. Схема вибору елементів, що приводить до розміщень з повтореннями.

Якщо випробування проводиться з вибором та наступним поверненням елементів у множину, а також з наступним упорядкуванням, то різноманітними наслідками даного випробування будуть комбінації елементів, що відрізняються або складом елементів, або порядком їх слідування. Отримані комбінації називають розміщеннями з повтореннями, а їх загальна кількість визначається за формулою:

Наприклад:

Кинуто 10 однакових гральних кубиків. Знайти ймовірність того, що на жодному з кубиків не випаде 6 очок.

Питання для самоконтролю

1 Предмет теорії ймовірності, її значення для економічних наук

2. Події та їх класифікація.

3. Класичне означення ймовірності та її властивості.

4. Геометрична і статистична ймовірності

5. Правила комбінаторики.

6. Основні формули комбінаторики

Тема 2. Основні теореми теорії ймовірності, їх економічна інтерпретація Лекція 2. Основні теореми теорії ймовірності та їх наслідки

Мета: Сформувати знання з основних теорем додавання та множення ймовірностей, ввести поняття залежних та незалежних, протилежних подій, умовної ймовірності, показати можливість використання для розв’язання практичних задач

План лекції:

1. Залежні та незалежні події. Умовна ймовірність

2. Теорема множення ймовірності

3. Теорема додавання ймовірності. Протилежні події

4. Ймовірність появи хоча б однієї події

5. Формула повної ймовірності

6. Формула Байеса

Рекомендована література: [1] ст. 31-40, [4] ст. 37-35, [6] ст. 35-45