3. Марківські процеси.

Процес називається процесом з дискретними станами, якщо його можливі стани s₁ , s₂ , s3…можна перерахувати, а перехід системи з одного стану до іншого відбувається миттєво (скачком)

Процес називається процесом із неперервним часом, якщо моменти можливих переходів системи із стану в стан наперед не фіксовані, а випадкові.

Будемо розглядати випадкові процеси з дискретними станами та неперервним часом.

ВП називають марківським (випадковим процесом без наслідків), якщо для будь – якого моменту часу t₀ ймовірнісні характеристики процеса в майбутньому залежать тільки від його стану в даний момент t₀ і не залежать від того, коли і як система прийшла в даний стан.

Ланцюг Маркова – це послідовність випробувань, в кожному з яких з’являється тільки одна з несумісних подій А₁, А₂,…, Ак, що складають повну групу, при чому умовна ймовірність p_ij(s), того що в s-тому випробуванні наступить подія А_j за умови , що в (s-1)-му випробуванні наступила подія А_i, не залежить від результатів попередніх випробувань.

Однорідним називають ланцюг Маркова, якщо умовна ймовірність p_ij(s) (переходу із стану I в стан j) не залежить від номеру стану s і записується ця ймовірність як p_ij

Перехідною ймовірністю p_ij називають умовну ймовірність того, що із стану i (в якому система опинилася в результаті деякого випробування) в результаті наступного випробування система перейде в стан j

Нехай кількість станів кінцева і дорівнює к

Матрицею переходу системи називають матрицю, що включає в себе всі перехідні ймовірності даної системи.

P₁=

Можна довести, матриця переходу системи із одного стану в інший за m кроків обчислюється за формулою:

4. Основні поняття та класифікація систем масового обслуговування.

На практиці досить часто зустрічаються системи, що призначені для багаторазового використання під час розв’язку однотипних задач.

Процеси, що відбуваються при цьому отримали назву процесів обслуговування, а системи, що виконують однотипні задачі – систем масового обслуговування

Кожна така система складається з певної кількості елементів обслуговування, що мають назву каналів обслуговування.

По кількості каналів обслуговування СМО поділяються на одно канальні та багатоканальні.

Оскільки заявки потрапляють в СМО нерівномірно, а випадково, утворюючи випадковий потік заявок, а, також, обслуговування заявок продовжується деякий випадковий проміжок часу, то СМО виявляється завантаженою нерівномірно.

Тому в деякі моменти часу СМО виявляється пере завантаженою і заявки або становляться в чергу, або покидають систему, або, навпаки, система не завантажена та простоює.

Предметом теорії масового обслуговування є побудова математичних моделей, що поєднують задані умови роботи СМО (кількість каналів, їх виробничість ...) з показниками ефективності СМО, що характеризуються її здатністю обслуговувати потік заявок.

В якості показників ефективності СМО використовуються:

- Середня кількість заявок, що обслуговуються в одиницю часу;

- Середня кількість заявок в черзі;

- Середній час очікування обслуговування;

- Ймовірність того, що кількість заявок в черзі буде перевищувати певне значення і т.д.

СМО поділяють на 2 типи:

1. СМО з відмовами – заявка, що потрапила в систему в час, коли всі канали зайняті, отримує відмову і покидає СМО не обслугованою.

2. СМО с очікуванням – заявка, що потрапила в систему в час, коли всі канали зайняті, не покидає систему, а становиться в чергу на обслуговування.

Процес роботи СМО представляє собою випадковий процес з дискретними станами та неперервним часом. Отже для геометричного представлення даних процесів зручно користуватися графами станів.