1. Система двох дискретних випадкових величин та її закон розподілу.

В попередніх лекціях було розглянуто випадкові величини, можливі значення яких визначались одним числом. Такі випадкові величини називають одномірними.

Але, при вивченні випадкових явищ в залежності від їх складності досить часто потрібно використовувати дві, три, а інколи, і більше випадкових величин.

Наприклад: Місце влучення снаряду визначається не одною, а двома ВВ – абсцисою та ординатою, розмір деталі – довжиною та шириною,....

Тобто, виникає необхідність переходу від одномірних випадкових величин до величин, можливі значення яких в кожному випробуванні визначаються 2, 3... числами. Такі величини називають багатомірними.

Обмежимось вивченням двовимірної випадкової величини.

Випадкова величина називається двовимірною, якщо всі її можливі значення мають вигляд ,при чому та

Законом розподілу двовимірної дискретної випадкової величини (ДДВВ) називають перелік можливих значень цієї величини та відповідних їм ймовірностей р

Звичайно такий закон задається у вигляді таблиці:

• Приклад: Одночасно підкидають два гральних кубика. ВВ Х – парна сума очок, що випали на кубиках, ВВ Y – непарний добуток очок. Побудувати закон розподілу ВВ (X, Y).

2. Функція розподілу двовимірної випадкової величини. Ймовірність попадання випадкової точки в півполосу, прямокутник.

Функцією розподілу ДДВВ (Х, У) називають функцію F(Х, У), що визначає для кожної пари чисел х, у ймовірність того, що Х прийме значення менше ніж х і при цьому У прийме значення менше ніж у

F(Х, У)=Р(Х<x, Y<y)

• Приклад: Знайти ймовірність того, що в результаті випробування складова Х ДВВ (Х,У) прийме значення Х<2 і при цьому складова У прийме значення У<3, якщо відома функція розподілу системи:

Геометрично функцію розподілу ДДВВ можна зобразити як ймовірність того, що точка потрапить в нескінчений квадрант

Властивості функції розподілу ддвв

1. ,

2.

3.

4. Ймовірність попадання випадкової точки в півполосу обчислюється за формулою:

4.1. якщо x₁<X<x₂, та Y<y, то

4.2. якщо x<X, та y₁<Y<y₂, то

5. Ймовірність попадання випадкової точки в прямокутник із сторонами, паралельними координатним осям, обчислюється за формулою:

3. Безумовні та умовні закони розподілу складових двовимірної двв.

Безумовним законом розподілу складової Х називають сукупність можливих значень х₁, х₂, …,х_n та відповідних їм ймовірностей р(х₁), р(х₂), …, р(х_n)

Ймовірності р(х₁), р(х₂), …, р(х_n) обчислюють як

р(х₁)=р(х₁, у₁)+ р(х₁, у₂)+... +р(х₁, у_n)

р(х₂)=р(х₂, у₁)+ р(х₂, у₂)+... +р(х₂, у_n)

р(х_n)=р(х_n, у₁)+ р(х_n, у₂)+... +р(х_n, у_n)

Аналогічно

Безумовним законом розподілу складової Y називають сукупність можливих значень y₁, y₂, …,y_n та відповідних їм ймовірностей р(y₁), р(y₂), …, р(y_n)

П риклад: ДДВВ задано законом розподілу

Умовним законом розподілу складової Х якщо Y=y_j називають сукупність умовних ймовірностей р(х1│уj), р(х2│ уj) … р(хn│уj), які обчислюють за умови, що подія Y=y_j вже відбулася, тобто

р(х_i│у_j)= р(х_i, у_j)/ р(у_j)

Аналогічно

Умовним законом розподілу складової Y якщо X=x_i називають сукупність умовних ймовірностей р(y₁│x_i), р(y₂│ x_i) … р(y_n│x_i), які обчислюють за умови, що подія X=x_i вже відбулася, тобто

р (у_j│ х_i)= р(х_i, у_j)/ р(х_i)

Приклад: ДДВВ задано законом розподілу

Побудувати умовні закони розподілу складових ДДВВ