Геометричний закон розподілу

Нехай проводяться незалежні випробування, в кожному з яких ймовірність появи події А дорівнює р. Випробування закінчуються, як тільки з’явиться подія А.

В цьому випадку закон розподілу ДВВ визначається аналітичним виразом:

Р(Х)=q^k-1 ·p

Приклад: Підкидають монету. Випробування закінчується в тому випадку, коли з’явиться герб. Побудувати закон розподілу ДВВ випадіння герба.

3. Гіпергеометричний закон розподілу.

Нехай множина, яка складається з N елементів є підмножина з M елементів (M<N).Із множини N випадково відбирають n елементів, при чому кожен з ним може бути відібраний з однаковою ймовірністю і потім не повертається в множину. І нехай серед відібраних елементів n є m елементів, які належать підмножині M. Такий закон розподілу ДВВ Х – кількості m елементів серед n відібраних буде можна представити як

Приклад: В партії з 6 деталей є 4 стандартні. Навмання відібрані 2 деталі. Скласти закон розподілу кількості стандартних деталей серед відібраних.

Закон розподілу Пуассона.

Нехай проводиться n незалежних випробувань, в кожному з яких подія А може або з’явитися, або не з’явитися з однаковою ймовірністю р. Розглянемо в якості ДВВ Х – кількість появ події А в таких випробуваннях.

Якщо ймовірність появи події А у всіх випробуваннях дуже мала (p≤0,1), то ймовірності, що відповідають можливим значенням ДВВ Х обчислюється за формулою Пуассона

, де =n·p

Тобто закон розподілу Пуассона показує ймовірності масових (п велике) та рідких (р - мала) подій.

Приклад: Магазин отримав 1000 пляшок мінеральної води. Ймовірність того, що під час транспортування пляшка виявиться розбитою, дорівнює 0,003. Побудувати закон розподілу цілочислової ДВВ Х – в дорозі розбилось не більше трьох пляшок.

Нехай проводиться n незалежних випробувань, при чому в першому випробуванні ймовірність появи події А дорівнює р₁, в другому - р₁, ... , в n- му випробуванні – р_n.

Твірною функцією ймовірностей називають функцію, яка визначається рівністю:

Ймовірність того, що в n незалежних випробуваннях в першому з яких ймовірність появи події А дорівнює р₁, в другому - р₁, ... , в n- му випробуванні – р_n., подія А з’явиться рівно k разів, дорівнює коефіцієнту при р розкладенні твірної функції по степеням z.

Наприклад якщо п=2, то

Приклад:

• Два стрілки проводять по одному пострілу в ціль. Ймовірність влучення в ціль для першого стрілка дорівнює 0,7, а для другого – 0,9. Побудувати закон розподілу ДВВ Х – кількості влучень в ціль.

Питання для самоконтролю

1. Математичне сподівання, дисперсія, середнє квадратичне відхилення, їх властивості.

2. Моменти. Мода та медіана.

3. Рівномірний, показниковий та нормальний закони розподілу. Функція Лапласа

4. Біноміальний закон розподілу

5. Геометричний закон розподілу

6. Гіпергеометричний закон розподілу

7. Закон розподілу Пуассона

Тема 6. Багатовимірні випадкові величини Лекція 6. Закон розподілу двовимірних випадкових величин

Мета: сформувати знання щодо системи двох дискретних випадкових величин, її числових характеристик, законів розподілу, ймовірності попадання випадкової точки в півполосу, прямокутник.

План лекції:

1. Система двох дискретних випадкових величин та її закон розподілу

2. Функція розподілу двовимірної випадкової величини, ймовірність попадання в півполосу, прямокутник

3. Безумовні та умовні закони розподілу складових двовимірної дискретної випадкової величини

4. Умовне математичне сподівання. Регресія

Рекомендована література: [1] ст. 155-163, [4] ст. 120-128, [6] ст. 175-192