3. Примерный вариант контрольной работы

1. Решить смешанную задачу:

2. Решить смешанную задачу:

3. Решить смешанную задачу:

.

4. Решить смешанную задачу:

5. Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа в круге ( - полярные координаты), на границе которого искомая функция имеет следующие значения:

.

3. Теоретические вопросы к зачёту

1. Что называется дифференциальным уравнением с частными производными -го порядка?

2. Что называется порядком дифференциального уравнения с частными производными?

3. Что называется дифференциальным уравнением с частными производными 1-го порядка?

4. Что называется дифференциальным уравнением с частными производными 2-го порядка?

5. Что значит проинтегрировать дифференциальное уравнение с частными производными?

6. Что называется общим решением дифференциального уравнения -го порядка с частными производными?

7. Что называется общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка с частными производными?

8. Что называется общим решением дифференциального уравнения 2-го порядка с частными производными?

9. Что называется системой дифференциальных уравнений с частными производными?

10. Какое дифференциальное уравнение с частными производными называется квазилинейным, линейным?

11. Каков общий вид линейного дифференциального уравнения с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными?

12. Какое дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными называется однородным, неоднородным?

13. Как определить тип уравнений второго порядка с частными производными линейных относительно старших производных? Перечислить типы уравнений второго порядка в частных производных.

14. Каковы канонические виды уравнений второго порядка с частными производными линейных относительно старших производных (по типам)?

15. Что называется двумерным оператором Лапласа? Как выглядят формулы дифференцирования сложной функции двух независимых переменных?

16. Как привести уравнение второго порядка с частными производными линейного относительно старших производных к каноническому виду? Как сделать замену переменных по каждому из типов уравнений?

17. Как выглядит характеристическое уравнение (уравнение характеристик) для уравнений второго порядка с частными производными линейных относительно старших производных? Что такое характеристика уравнений второго порядка с частными производными линейных относительно старших производных?

18. Как выглядят канонические формы линейных уравнений с постоянными коэффициентами?

19. Что называется струной?

20. Что такое малые, поперечные и плоские колебания струны?

21. Как выглядит волновое уравнение, какие процессы оно описывает?

22. Как выглядят одномерные волновые уравнения (уравнение вынужденных колебаний струны, уравнения свободных колебаний)?

23. Что входит в дополнительные условия волнового уравнения для нахождения решения, описывающего соответствующий физический процесс?

24. В чём состоят начальные условия задачи решения волнового уравнения?

25. В чём состоят краевые условия задачи решения волнового уравнения?

26. Что такое задача Коши для одномерного волнового уравнения?

27. В чём состоит метод характеристик (метод Д’Аламбера) решения задачи о свободных колебаниях бесконечной струны? Запишите формулу Д’Аламбера для решения задачи о свободных колебаниях бесконечной струны.

28. В чём состоит метод разделения переменных (метод Фурье) решения задачи о колебаниях струны, закреплённой на концах? Что такое собственные функции и собственные значения уравнения колебаний струны, закреплённой на концах?

29. Как выглядит уравнение теплопроводности, какие процессы оно описывает?

30. Как выглядят одномерные, двумерные, трёхмерные уравнения теплопроводности?

31. В чём состоят начальные условия задачи решения уравнения теплопроводности?

32. В чём состоят краевые условия задачи решения уравнения теплопроводности?

33. Что такое задача Коши для одномерного волнового уравнения (случай неограниченного стержня)? Каков метод её решения? Что такое интеграл Пуассона?

34. Что такое задача Коши для одномерного волнового уравнения (случай стержня, ограниченного с одной стороны)? Каков метод её решения?

35. Что такое задача Коши для одномерного волнового уравнения (случай стержня, ограниченного с обоих концов)?

36. Как выглядит уравнение Лапласа?

37. Как выглядит краевая задача для уравнения Лапласа?

38. Сформулируйте внутреннюю задачу Дирихле для уравнения Лапласа в круге. Каков метод её решения?

39. Сформулируйте задачу Дирихле для уравнения Лапласа в кольце. Каков метод её решения?

40. Сформулируйте внутреннюю задачу Дирихле для уравнения Пуассона в круге. Каков метод её решения?