В полярных координатах: ,
В декартовых координатах: .
Задание № 6б. Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа в кольце:
Указания к решению.
Ищем решение задачи в виде
Используя граничное условие, получаем систему уравнений для определения коэффициентов
.Записываем ответ, подставляя найденные коэффициенты в ряд .
Задание № 6в. Решить внутреннюю задачу Дирихле для уравнения Пуассона в круге:
.
Указания к решению.
Подберём такую функцию
,
что
,
и рассмотрим разность
.
Тогда
,
.
Получаем задачу Дирихле для уравнения Лапласа в круге:
план решения которой дан в указаниях к задаче 4а.
Решаем эту задачу, находим функцию
.Искомое решение представляем в виде
.
Пример 9. Решить внутреннюю задачу Дирихле для уравнения Пуассона в круге
.
Решение.
Подбираем функцию
.
Тогда
,
.
Проверим
,
;
,
;
.
Перейдем в граничном условии к полярным координатам
Получаем задачу Дирихле для уравнения Лапласа в круге
Ищем ее решение в виде
. 
Используя формулы понижения степени (см. ), преобразуем граничное условие к виду
.
Применяя его к ряду , получим:
Отсюда:
;
при
:
,
;
,
;
при
:
,
;
,
;
при
остальных
:
и
.
Подставим найденные коэффициенты в ряд , получим
.
Теперь
,
где
.
Тогда
2. Условия заданий расчётно-графической работы
Задание 1. Найти поток векторного поля a через замкнутую поверхность S (Нормаль внешняя).
Задание 2. Найти модуль циркуляции векторного поля a вдоль контура Г.
Задание № 3. Определить тип уравнения
,
привести его к каноническому виду и найти его общее решение.
Вариант |
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
4 |
-5 |
0 |
0 |
|
|
1 |
4 |
4 |
1 |
-2 |
|
|
1 |
-2 |
-3 |
0 |
0 |
|
|
1 |
-4 |
4 |
1 |
2 |
|
|
1 |
4 |
3 |
0 |
0 |
|
|
1 |
6 |
9 |
2 |
-6 |
|
|
1 |
-4 |
-12 |
0 |
0 |
|
|
1 |
-6 |
9 |
2 |
-6 |
|
|
1 |
6 |
5 |
0 |
0 |
|
|
1 |
2 |
1 |
-1 |
2 |
|
|
1 |
-6 |
8 |
0 |
0 |
|
|
1 |
8 |
16 |
3 |
-12 |
|
|
1 |
4 |
-21 |
0 |
0 |
|
|
1 |
-8 |
16 |
-1 |
4 |
|
|
1 |
-4 |
-32 |
0 |
0 |
|
|
1 |
2 |
1 |
5 |
-5 |
|
|
1 |
-2 |
-24 |
0 |
0 |
|
|
1 |
-2 |
1 |
-3 |
3 |
|
|
1 |
2 |
-8 |
0 |
0 |
|
|
1 |
-4 |
4 |
2 |
-4 |
|
|
3 |
2 |
-1 |
2 |
3 |
|
|
4 |
4 |
1 |
-2 |
0 |
|
|
1 |
-2 |
-3 |
0 |
0 |
|
|
1 |
6 |
9 |
-2 |
6 |
|
|
3 |
-5 |
-2 |
3 |
1 |
Задание № 4а. Решить смешанную задачу.
Вариант |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
-8 |
2 |
|
0 |
|
|
3 |
1 |
7 |
2 |
|
|
|
|
3 |
3 |
-6 |
6 |
|
0 |
|
|
3 |
2 |
|
|
0 |
|
|
|
4 |
1 |
-4 |
-1 |
|
0 |
|
|
4 |
2 |
3 |
7 |
|
|
|
|
4 |
3 |
-2 |
1 |
|
0 |
|
|
4 |
2 |
|
|
0 |
|
|
|
5 |
1 |
-1 |
-3 |
|
0 |
|
|
5 |
2 |
3 |
-5 |
|
|
|
|
5 |
1 |
-5 |
1 |
|
0 |
|
|
5 |
2 |
|
|
0 |
|
|
|
6 |
3 |
-9 |
3 |
|
0 |
|
|
6 |
2 |
8 |
2 |
|
|
|
|
6 |
3 |
-6 |
0 |
|
0 |
|
|
6 |
4 |
|
|
0 |
|
|
|
7 |
3 |
-2 |
-5 |
|
0 |
|
|
7 |
2 |
3 |
-1 |
|
|
|
|
7 |
1 |
-1 |
-4 |
|
0 |
|
|
7 |
2 |
|
|
0 |
|
|
|
8 |
1 |
-4 |
-9 |
|
0 |
|
|
8 |
3 |
2 |
-7 |
|
|
|
|
8 |
1 |
-3 |
1 |
|
0 |
|
|
8 |
2 |
|
|
0 |
|
|
|
9 |
3 |
-5 |
2t |
|
0 |
Задание № 4б. Решить первую смешанную задачу для неоднородного волнового уравнения на отрезке
Вариант |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
