Ответ: . Задание № 5а. Решить смешанную задачу для уравнения теплопроводности

Указания к решению.

1. Ищем решение задачи в виде суммы

,

где - решение неоднородного уравнения с однородными граничными и начальными условиями:

а - решение однородного уравнения с исходным начальным условием:

2. Решаем задачу .

Ищем решения уравнения в виде

,

причем , т.е. . Для этого подставляем функцию в уравнение и разделяем переменные. Получаем

.

Поэтому функции и являются решением связанных задач:

a) ,

б)

3. Решаем задачу а).

Уравнение при имеет общее решение

.

Из граничных условий следует, что

, ,

4. Решаем задачу б).

При имеем:

Общее решение этого уравнения есть

5. Итак, вспомогательные решения уравнения имеют вид

,

где - постоянные, которые предстоит найти.

6. .

Функция является решением уравнения и удовлетворяет граничным условиям при любых , при которых ряд сходится. Его можно дважды дифференцировать почленно.

7. Находим коэффициенты такие, что удовлетворяет начальному условию .

Полагая в , получаем

.

Следовательно,

.

Подставляя эти коэффициенты в формулу , получаем решение .

8. Решение задачи ищем в виде ряда по собственным функциям соответствующей однородной краевой задачи

Подставляем ряд в уравнение , получаем

.

9. Так как в нашей задаче функция ,то получаем

при ,

при .

10. Решаем обыкновенное дифференциальное уравнение

.

Находим .

11. Решаем обыкновенное дифференциальное уравнение

, , .

, , .

Находим при .

12. Записываем решение , подставляя в ряд найденные функции.

13. Записываем ответ в виде

.

Пример 7. Решить смешанную задачу.

Решение.

1. Решение будем искать в виде суммы двух функций

,

где - решение однородного уравнения с заданными начальными и граничными условиями, - решение заданного неоднородного уравнения при нулевых граничных и начальных условиях.

2. Сформулируем задачу для

Решение данной задачи имеет вид

.

Найденное удовлетворяет уравнению и граничным условиям.

Определим , при которых выполняются начальные условия

.

Так как при , а при , то

.

3. Сформулируем задачу для

Ищем решение в виде ряда по собственным функциям однородной задачи

.

Найдём такие, чтобы функция удовлетворяла уравнению

и граничным условиям.

Подставим в уравнение

.

Получим

4. Очевидно, что при .

Начальные условия имеют вид .

Решение будем искать в виде

.

Находим , решая уравнение .

Характеристическое уравнение имеет вид

.

Отсюда

.

Найдём .

Подставим найденные выражения в .

.

Отсюда

Используя начальное условие , получаем при

5. При

Решением этой задачи является .

Тогда

.

6. Решение исходного уравнения имеет вид

Ответ:

.

Задание № 5б. Решить смешанную задачу для уравнения теплопроводности:

Указания к решению.

1. Введем новую неизвестную функцию , положив

,

где

.

При , при . Тогда .

2. Пересчитаем уравнение и начальное условие для новой неизвестной функции (см. указание к заданию 2а).

3. Получим для функции задачу

план решения которой дан в указаниях к заданию5а.

4. Найдем функцию и запишем ответ в виде

.

Задание № 6а. Решить внутреннюю задачу Дирихле для уравнения Лапласа в круге:

.

Указания к решению.

1. Ищем решение в виде

.

2. Используя граничное условие , вычисляем коэффициенты .

Для преобразования функции используем формулы понижения степени:

3. Записываем ответ

Пример 8. Решить внутреннюю задачу Дирихле для уравнения Лапласа в круге:

.

Решение.

1. Будем искать решение в виде

.

2. Из граничного условия имеем

.

Сравнивая коэффициенты при и , получим

Искомое решение имеет вид: