Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
умф РГР ПЭ.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.04.2025
Размер:
3.04 Mб
Скачать

УТВЕРЖДАЮ

Ректор университета

____________  А.В. Лагерев

«___»__________2011 г.

Методы математической физики

Методические указания к выполнению самостоятельной работы

для студентов очной (дневной) формы обучения

специальностей 210106 – «Промышленная электроника»,

210104 – «Микроэлектроника и твердотельная электроника»

Брянск 2011

УДК 511

Методы математической физики: методические указания к выполнению самостоятельной работы для студентов очной (дневной) формы обучения специальностей 210106 - «Промышленная электроника», 210104 – «Микроэлектроника и твердотельная электроника».- Брянск: БГТУ, 2011. – 48 с.

Разработали: Г. Г. Цуленева, доцент каф. «ВМ»

Г. Г. Вискина, ст. преп. каф. «ВМ»

Рекомендовано кафедрой «Высшая математика» БГТУ

(протокол № 5 от 25.01.2011)

Оглавление Предисловие…………………………………………….…………4

  1. Методические указания к выполнению заданий расчётно-графической работы……………………………………………….5

  2. Условия заданий расчетно-графической работы…………….....28

  3. Примерный вариант контрольной работы………...…………….36

  4. Теоретические вопросы к зачёту и экзамену…………………...37

Список рекомендуемой литературы……...……………………..40

Предисловие

В соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования специальности 210106 - «Промышленная электроника», 210104 – «Микроэлектроника и твердотельная электроника» объём самостоятельной работы студентов (СРС) очной формы обучения должен составлять не менее 50% от общего объёма теоретического обучения. Таким образом, возрастает важность самостоятельной работы как вида учебной деятельности студентов.

К видам СРС по дисциплине «Методы математической физики» относятся самостоятельное изучение теоретического материала, выполнение домашнего задания, решение задач расчётно-графической работы (РГР), подготовка к контрольной работе, зачёту и экзамену.

Данные методические указания предназначены для студентов очной формы обучения специальности 210106 - «Промышленная электроника», 210104 – «Микроэлектроника и твердотельная электроника», изучающих дисциплину «Методы математической физики» в VI семестре. Они содержат условия задач РГР и указания к их решению, примеры решения задач РГР, образец варианта контрольной работы, теоретические вопросы к зачёту и экзамену, список рекомендуемой литературы.

  1. 1. Методические указания к выполнению заданий расчетно-графической работы

Расчётно-графическая работа содержит 10 задач.

В заданиях № 1 и № 2 необходимо вычислить поток и циркуляцию векторного поля.

В задании № 3 следует привести к каноническому виду линейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка и найти его общее решение.

В заданиях № 4а, 4б необходимо решить краевую задачу для уравнений гиперболического типа, № 5а, 5б – параболического типа, № 6а, 6б, 6в – эллиптического типа.

Задание № 1. Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность (нормаль внешняя).

Указания к решению.

Пусть в области задано некоторое векторное поле , где - непрерывно дифференцируемые в области функции. Пусть - гладкая ориентируемая поверхность, на которой выбрана определённая сторона, задаваемая единичной нормалью к этой поверхности.

Потоком векторного поля через поверхность в направлении единичной нормали называют поверхностный интеграл первого рода:

.

Поверхностный интеграл первого рода в формуле связан с поверхностным интегралом второго рода равенством

которое даёт ещё один способ вычисления потока.

Для вычисления потока векторного поля через замкнутую поверхность часто применяют формулу Гаусса-Остроградского:

,

где - тело, ограниченное поверхностью .

Однако следует иметь ввиду, что для применения этой формулы необходимо, чтобы векторное поле было непрерывно-дифференцируемым внутри поверхности . Это условие всегда выполнено, если область , в которой рассматривается поверхность пространственно односвязная. (Область называется пространственно односвязной, если из того, что замкнутая поверхность лежит в следует, что тело , границей которого является поверхность , тоже лежит в .

Пример 1. Вычислить поток вектора через замкнутую поверхность

  1. по определению, 2) по формуле Остроградского.

Решение.

  1. Поток вектора равен сумме (рис. 1), где

( на поверхности ),

( на поверхности ),

,

так как

.

Перейдём на цилиндре к криволинейным координатам

.

Тогда

.

Следовательно, .

  1. По формуле Гаусса-Остроградского имеем

.

Задание № 2. Найти модуль циркуляции векторного поля вдоль контура .

Указания к решению.

Пусть - векторное поле, заданное в некоторой области , и функции - непрерывно дифференцируемые в области . Пусть - замкнутая гладкая кривая, расположенная в области . Криволинейный интеграл

называется циркуляцией векторного поля вдоль кривой .

Для вычисления циркуляции векторного поля часто применяют формулу Стокса.

Теорема Стокса. Пусть - гладкая ориентируемая поверхность, а - замкнутая гладкая кривая, являющаяся границей поверхности . Пусть - единичная нормаль к поверхности , задающая одну из её сторон. Пусть векторное поле непрерывно дифференцируемо на и на . Тогда

Пример 2. Вычислить циркуляцию пространственного векторного поля вдоль эллипса , получающегося пересечением цилиндра с плоскостью (при взгляде с положительного направления оси обход контура совершается против часовой стрелки).

Решение.

Первый способ.

Запишем параметрические уравнения эллипса: . При изменении параметра от 0 до получаем требуемое направление обхода контура . Вычислим теперь циркуляцию:

Второй способ.

Вычислим циркуляцию, применив формулу Стокса, причём в качестве поверхности , ограничиваемой кривой , выберем часть плоскости , лежащей внутри цилиндра . Единичную нормаль к плоскости выберем так, чтобы, глядя с её конца, направление обхода контура проходило против часовой стрелки. Такой единичной нормалью будет вектор . По формуле Стокса имеем:

Вычисление последнего интеграла сведём к вычислению двойного интеграла по области , являющейся проекцией поверхности на плоскость . Этой областью будет круг . Поскольку , то окончательно получаем:

.

Задание № 3. Определить тип уравнения

,

привести его к каноническому виду и найти его общее решение.

Указания к решению.

  1. Определяем тип уравнения по знаку выражения

    1. если в некоторой точке, то уравнение называется уравнением гиперболического типа в этой точке;

    2. если в некоторой точке, то уравнение называется уравнением эллиптического типа в этой точке;

    3. если в некоторой точке, то уравнение называется уравнением параболического типа в этой точке.

  2. Составляем характеристическое уравнение

и решаем его относительно .

  1. Делаем замену переменных

где

    1. в случае уравнения гиперболического типа и - независимые общие интегралы уравнения характеристик ;

    2. в случае уравнения параболического типа - общий интеграл уравнения характеристик и - произвольная дважды дифференцируемая функция, не выражающаяся через ;

    3. в случае уравнения эллиптического типа и - вещественная и мнимая части любого из двух общих интегралов уравнения характеристик .

В результате замены переменных уравнение примет один из трёх канонических видов:

    • в случае уравнения гиперболического типа

;

    • в случае уравнения параболического типа

;

    • в случае уравнения эллиптического типа

.

  1. Ищем общее решение полученного уравнения.

Пример 3. Определить тип уравнения

,

привести его к каноническому виду и найти его общее решение.

Решение.

  1. Имеем:

следовательно, уравнение является уравнением гиперболического типа во всей плоскости .

  1. Составляем характеристическое уравнение.

,

, и ,

и ,

и .

Таким образом, уравнение характеристик имеет два интеграла:

и .

  1. Делаем замену переменной

.

По правилу дифференцирования сложной функции

В результате замены переменных уравнение принимает вид

Таким образом,

.

  1. Интегрируем уравнение по , получаем

.

Интегрируя уравнение по , получаем

.

Следовательно, общее решение уравнения имеет вид

,

где и - произвольные дважды дифференцируемые функции.

  1. Подставляя в и , получаем общее решение уравнения

.

Делаем проверку и записываем ответ.

Пример 4. Найти общее решение уравнения

,

привести его к каноническому виду и найти его общее решение.

Решение.

  1. Имеем:

следовательно, уравнение является уравнением параболического типа во всей плоскости .

  1. Составляем и решаем характеристическое уравнение.

,

, , .

Таким образом, уравнение характеристик имеет один общий интеграл

  1. Делаем замену переменной

.

В качестве можно было бы взять и любую другую дважды дифференцируемую функцию, не выражающуюся через .

Приводим уравнение к каноническому виду. Получаем уравнение

.

  1. Чтобы найти общее решение уравнения , составляем соответствующее характеристическое уравнение и находим его корни и .

Следовательно, общее решение уравнения можно записать в виде

,

где и - произвольные дважды дифференцируемые функции.

  1. Подставляя в и , получаем общее решение уравнения

.

Делаем проверку, подставляя в уравнение , и записываем ответ.

Задание № 4а. Решить смешанную задачу.

Указания к решению.

  1. Вводим вспомогательную функцию

,

значения которой при и совпадают со значениями неизвестной функции , т.е. , .

  1. Рассмотрим функцию

.

Очевидно, что .

  1. Перейдем в уравнении и в начальных условиях к функции : (т.к. и ). Получаем уравнение .

Для начальных условий имеем

  1. Получаем краевую задачу

  1. Ищем решение уравнения в виде

,

причём , т. е. . Для этого подставляем в уравнение и разделяем переменные. Получаем

.

Поэтому функции и являются решениями связанных задач

а) ;

б) .

  1. Решаем задачу а)

Уравнение имеет общее решение

Из граничных условий следует, что

  1. Решаем задачу б). При имеем

Общее решение этого уравнения

  1. Итак, вспомогательные решения уравнения имеют вид

где - постоянные, которые предстоит найти.

  1. Решение задачи ищем в виде

Эта функция является решением уравнения и удовлетворяет граничным условиям при любых и , при которых ряд сходится и его можно дважды дифференцировать почленно.

  1. Находим коэффициенты и , при которых удовлетворяет начальным условиям .

Полагая в , получаем

Отсюда

Дифференцируя равенство , имеем

Полагая здесь и используя начальное условие , получаем

Отсюда

  1. Подставляя эти коэффициенты в формулу , получаем решение задачи .

  2. Записываем ответ в виде .

Пример 5. Решить смешанную задачу.

Решение.

В задаче .

  1. Вводим вспомогательную функцию

.

  1. Ищем решение задачи в виде

.

  1. Сформулируем задачу для новой неизвестной функции

.

  1. Получаем краевую задачу

  1. Выполняя пункты 5 – 10 указания к решению задачи, получим решение в виде ряда

.

  1. Ищем коэффициенты и , используя начальные условия и .

.

При получим

,

.

Очевидно, что при , при . для .

  1. Получаем функцию

.

  1. Решение исходной задачи имеет вид

.

Ответ: .

Задание № 4б. Решить первую смешанную задачу для неоднородного волнового уравнения на отрезке:

Указания к решению

  1. Поскольку начальные условия однородные, применим метод разложения по собственным функциям соответствующей однородной задачи.

Решение ищем в виде ряда

.

Здесь - собственные функции однородной краевой задачи, и граничные условия выполняются автоматически.

  1. Определим функции так, чтобы функция удовлетворяла уравнению и начальным условиям .

Подставив в виде в уравнение , получим

  1. Разложим функцию в интервале в ряд Фурье по синусам (собственным функциям)

,

где

.

  1. Сравнивая разложения и для одной и той же функции , получим дифференциальные уравнения

для неизвестных функций .

Решения этого уравнения должны подчиняться начальным условиям .

  1. Решаем уравнения и подставляем полученные решения в ряд .

  2. Записываем ответ.

Замечание. В некоторых случаях можно обойтись без разложения функции в ряд Фурье.

Пример 6. Решить смешанную задачу.

Решение.

  1. Собственными функциями однородной краевой задачи являются функции , поэтому решение ищем в виде

.

  1. Подставим в уравнение, получим

,

откуда легко усматриваем, что

Решения должны удовлетворять начальным условиям

.

  1. Ищем функцию как решение задачи

Это обыкновенное неоднородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами со специальной правой частью. Его общее решение , где - общее решение соответствующего однородного уравнения, - частное решение неоднородного уравнения.

Найдём . Характеристическое уравнение имеет вид , следовательно, . Тогда .

Так как правая часть уравнения многочлена 1-й степени, то .

Подставляя эту функцию в уравнение и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в его левой и правой частях, получим и . Тогда .

Общее решение неоднородного уравнения имеет вид

.

Потребовав выполнение начальных условий , находим , так что .

  1. Для имеем

Решая это линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, получим .

  1. Решение исходной задачи имеет вид

.