Механические колебания.

Колебания – это процессы движения или изменения состояния, повторяющиеся в той или иной степени во времени. В процессе колебаний происходит превращение одного вида энергии в другой. Физическая природа колебаний может быть разной, различают механические, электромагнитные, электромеханические, термодинамические и т.д. Колебания различной физической природы обладают общностью закономерностей и свойств. Поэтому часто любые колебательные системы называют осцилляторами.

По характеру внешнего воздействия колебания делятся на: - свободные (собственные) колебания, возникающие в результате кратковременного внешнего воздействия. В свою очередь различают свободные незатухающие колебания и свободные затухающие колебания;

Вынужденными называются колебания, при которых для поддержания незатухающих колебаний к системе непрерывно или периодически подводится энергия от внешнего источника. В зависимости от способа поддержания незатухающих колебаний различают: вынужденные колебания под действием периодической силы,автоколебания, параметрические колебания и т. д.

По промежуткам времени, через которые состояние колебательной системы повторяется, колебания делятся на периодические и непериодические. Периодическими называют колебания, при которых состояние колебательной системы повторяется через одинаковые промежутки времени, т.е. значения всех величин, определяющих состояние колебательной системы, повторяются через равные промежутки времени.

Свободные незатухающие колебания.

Отклонение x колебательной системы от положения равновесия при малых колебаниях удовлетворяет уравнению свободных гармонических колебаний

,

решением которого является гармоническая функция

,

где А – амплитуда колебаний;

φ₀ – начальная фаза;

ω₀ - циклическая частота колебаний.

Период колебаний Т – промежуток времени, в течение которого колебательная система совершает одно полное колебание, т.е. приходит в начальное состояние:

,

где N –полное число колебаний за промежуток времени Δt, ν – линейная частота.

Скорость v и ускорение a материальной точки, совершающей гармонические колебания (гармонического осциллятора):

,

Пружинный маятник – идеальная колебательная система, состоящая из тела, рассматриваемого в виде материальной точки, закрепленного на одном конце легкой пружины, другой конец которой неподвижен в некоторой инерциальной системе отсчета.

.

Период колебаний пружинного маятника массы m с жёсткостью k, равен

.

Математический маятник – идеальная колебательная система, состоящая из легкой нерастяжимой нити длины l, один конец которой фиксирован (точка подвеса), а на другом ее конце закреплено тело, рассматриваемое в виде материальной точки.

Период колебаний математического маятника равен

.

Физический маятник – идеальная колебательная система в виде абсолютно твердого тела, насаженного на горизонтальную неподвижную ось, не проходящей через центр тяжести этого тела. (Рис. 2). Сила трения в оси подвеса (Oz,) тела отсутствует.

Рис.2.

Период колебаний физического маятника равен

,

где I – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса маятника и перпендикулярной плоскости колебаний;

l – расстояние OC от точки подвеса до центра масс маятника.

Приведённая длина физического маятника: . Используя приведенную длину, формуле периода колебаний физического маятника можно придать вид, аналогичный периоду математического маятника:

.

Кинетическая энергия гармонического осциллятора:

.

Потенциальная энергия гармонического осциллятора:

.

Полная энергия гармонического осциллятора:

.

Средние значения кинетической и потенциальной энергий гармонического осциллятора:

.

Результатом сложения гармонических колебаний, происходящих с одинаковой частотой в одном направлении, является также гармоническое колебание с амплитудой

и начальной фазой

,

где A₁, A₂, φ₁, φ ₂ – амплитуды и начальные фазы складывающихся колебаний.

Траектория точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях

,

имеет вид:

а) прямой , если разность фаз ;

б) прямой , если разность фаз ;

в) эллипса , если разность фаз ;

г) окружности , если разность фаз и амплитуды равны: ;

Свободные затухающие колебания.

Уравнение затухающих колебаний имеет вид

,

решением которого является функция

,

где – амплитуда затухающих колебаний;

А₀ – начальная амплитуда колебаний (в момент );

φ₀ – начальная фаза;

β– коэффициент затухания.

– циклическая частота затухающих колебаний.

ω₀– циклическая частота свободных колебаний без трения.

Время релаксации системы, совершающей затухающие колебания:

.

Логарифмический декремент затухания:

,

где – период затухающих колебаний;

N_e – число колебаний за время τ, в течение которого амплитуда уменьшается в e раз.

Добротность затухающей колебательной системы:

.

Вынужденные колебания.

Происходят под действием вынуждающей силы, изменяющейся по гармоническому закону f=f_ocosωt.

Уравнение вынужденных колебаний:

,

решением которого является функция

,

где ω – частота вынуждающей силы;

ω ₀ – частота свободных колебаний без трения;

– амплитуда вынужденных колебаний;

– смещение по фазе от вынуждающей силы.

При приближении частоты вынуждающей силы ω к собственной частоте колебаний системы ω₀ наблюдается явление резкого возрастания амплитуды колебаний, которое называется резонансом (рис. 3 )

Рис.3

Резонансная частота

.

Резонансная амплитуда

.

Волны.

Волновое уравнение

,

где – отклонение точек среды от положения равновесия;

v – фазовая скорость распространения волны (колебаний среды).

Любая функция вида

является решением волнового уравнения и представляет суперпозицию двух волн, распространяющихся в направлении оси X (u₁) и в противоположном направлении (u₂).

Плоская гармоническая бегущая волна:

,

где u(x,t) – смещение точки среды, характеризуемой радиус-вектором x в момент времени t;

A₀ – амплитуда волны;

– циклическая частота волны;

k – волновой вектор;

φ₀ – начальная фаза волны.

Сферическая гармоническая волна:

,

где – волновое число;

λ – длина волны.

Длина волны λ фазовая скорость распространения волны v и частота волны ν связаны соотношением

.

Связь разности фаз колебаний с расстоянием Δx между точками среды, отсчитанным в направлении распространения колебаний:

.

Групповая скорость:

.

Скорость продольных волн в упругой среде:

,

где E – модуль продольной упругости (модуль Юнга) среды;

ρ – плотность среды.

Скорость поперечных волн в упругой среде:

,

где G – модуль сдвига среды.

Скорость звуковых волн в газообразной среде:

,

где p – давление газа;

ρ – плотность газа;

γ – показатель адиабаты.

Частота ω звуковой волны, воспринимаемая движущимся наблюдателем (эффект Допплера):

,

где ω₀ – частота звуковой волны, воспринимаемая покоящимся относительно источника наблюдателем;

v – скорость звуковой волны в неподвижной среде;

u_н – скорость движения наблюдателя относительно среды;

u_и – скорость движения источника волн относительно среды;

– единичный вектор, направленный от источника к наблюдателю;

k – волновой вектор;

θ_н – угол между векторами u_н и k;

θ_и – угол между векторами u_и и k.

Частота ω электромагнитной волны, воспринимаемая наблюдателем, движущимся вдоль направления распространения волны со скоростью v (продольный оптический эффект Допплера):

,

где ω₀ – частота электромагнитной волны, воспринимаемая покоящимся относительно источника наблюдателем;

c – скорость электромагнитных волн (света).

Частота ω электромагнитной волны, воспринимаемая наблюдателем, движущимся перпендикулярно направлению распространения волны со скоростью v (поперечный эффект Допплера):

.