1.3. Методика анализа и синтеза динамических свойств сложных систем с использованием традиционных матричных моделей и методов

В основе традиционных математических моделей сложных систем лежат физические закономерности, определяющие протекание ПП в различных составляющих элементах (рис. 1.10). При наличии данных о топологических связях элементов между собой (т.е. о структуре системы) может быть составлена полная система ДУ движения, математически описывающая совместное движение всех элементов и подсистем с учетом их взаимного влияния. Например, на рис. 1.12 показана структура системы ДУ движения сложной многомашинной ЭЭС, обобщенное представление которой приведено в п. 1.2 на рис. 1.7. В левой части рис. 1.12 цифрами 1…7 обозначены уравнения движения всех n вращающихся машин (в соответствии с рис. 1.10). Блоки уравнений каждой машины сдвинуты относительно друг друга, что обозначает использование в каждом блоке по семь «своих» локальных переменных. Кроме того, каждый «машинный» блок включает несколько ДУ Ф_i, описывающих связь регулирующих воздействий ( на рис. 1.8) с контролируемыми параметрами ( на рис. 1.8) с учетом структуры и настроечных коэффициентов «своего» АРВ-СД. Взаимосвязь блоков и локальных переменных осуществляется с помощью алгебраических уравнений сети С_i, устанавливающих граничные условия, исходя из требований соответствия значений локальных переменных параметрам установившегося режима в сети пассивных элементов. Путем стандартных преобразований, включающих замену дифференциальных и исключение алгебраических переменных, система алгебро-дифференциальных уравнений (рис. 1.12, а) может быть приведена к матричному виду (рис. 1.12, б) или, при раскрытии матрицы A и векторов , и B по элементам, к виду (1.11).

Рис. 1.12. Схематическое изображение системы ДУ движения ЭС: а – система алгебро-дифференциальных уравнений; б – векторно-матричная модель

Отметим, что соотношение (1.11) или (1.12) формализует связь между вектором базисных (независимых) переменных с вектором производных по времени тех же переменных. В качестве последних могут выступать любые из них, входящие в исходную систему уравнений или полученные в результате действий по замене или исключению переменных. Важно, что размерность этих векторов n определяется количеством независимых ДУ первого порядка, соответствующих исходной системе. Очевидно, что матрица связи A при этом является квадратной и имеет размерность ( ). Вектор В характеризует в явном виде совокупность управляющих воздействий в системе. Как будет показано ниже, данный вектор может быть учтен в неявном виде, путем корректировки элементов матрицы A. Соотношение (1.12) называют записью линейных ДУ движения системы в форме Коши [3], матрицу A – фундаментальной матрицей, вектор – вектором состояния исследуемой линейной системы управления.

; (1.11)

. (1.12)

Математическая схема анализа и синтеза динамических свойств сложной системы, представленной в форме Коши, базируется на следующих рассуждениях.

Если матричное уравнение (1.12) не содержит правой части (т.е. отсутствует вектор управляющих воздействий), то это нерегулируемая система:

. (1.13)

В такой системе может быть выполнен лишь анализ существующих динамических свойств, поскольку изменять их без вектора управляющих воздействий невозможно. Для оценки свойств стандартными методами определяются корни характеристического определителя (ХО) однородной (без правой части) системы ДУ (1.13). При этом символ дифференцирования по времени заменяют на оператор «p» (1.14):

. (1.14)

Для упрощения вычисления ХО выполняются дополнительные матричные преобразования исходя из известного положения линейной алгебры [3]: путем элементарных преобразований любую матрицу можно свести к диагональной, при этом её определитель не изменится. Полученные диагональные элементы фундаментальной матрицы называются её собственными числами (СЧ) или характеристическими корнями матричного ХУ (1.15):

. (1.15)

Как отмечалось в п. 1.1 эти СЧ определяют конфигурацию итогового ПП и, в частности, величину исследуемого функционала качества – степени устойчивости (1.16).

. (1.16)

Заметим, что если раскрыть определитель (1.17), выполнив операцию перемножения диагональных элементов

, (1.17)

то его можно привести к форме полинома:

. (1.18)

В задачах синтеза желаемых динамических свойств в системе должен присутствовать вектор управляющих воздействий В:

.

Обычно компонента управляющего вектора b_i формируется как функция от соответствующей компоненты вектора состояния x_i:

. (1.19)

Запишем матричное уравнение в форме Коши, исключив переменные управления:

, (1.20)

тогда эквивалентная матрица будет учитывать управляющие воздействия.

Тем самым показано, что фундаментальная матрица определяет новые динамические свойства исходной системы с учётом управляющих (регулирующих) воздействий. При этом СЧ матрицы полностью определяют и устойчивость, и степень устойчивости системы, а значит, и качество ПП.

Очевидно, что задача синтеза желаемых динамических свойств сложной многосвязной системы состоит в выборе вектора соответствующих управляющих воздействий В.

По аналогии с (1.17, 1.18) матричный ХО может быть представлен ХП .

Этот ХП является общим знаменателем для всех ПФ системы.

Числитель ПФ формируется операторным выражением, зависящим от точки подачи возмущения и точки фиксации сигнала.

Путем вычеркивания из главного ХО строки возмущаемой и столбца контролируемой переменной может быть получен минор главного определителя, обозначаемый . Далее, путем поиска СЧ соответствующей этому минору матрицы могут быть получены корни числителя ПФ:

. (1.21)

Поскольку размерность минора ниже размерности главного определителя, порядок числителя реальной ПФ всегда на несколько единиц (как минимум, на 1) меньше порядка знаменателя.