1. Многосвязные системы, подходы к их моделированию, эквивалентированию и управлению ими

1.1. Основные определения. Понятия многомерной и многосвязной системы. Качество переходных процессов

Перед изучением подходов к моделированию, эквивалентированию и синтезу желаемых динамических свойств многосвязных систем управления, напомним несколько известных определений.

Одномерная система имеет один вход и один выход.

Многомерная система имеет несколько контролируемых переменных (несколько входов и выходов).

Односвязная система – это та система, у которой критерий качества управления однозначно связан с управляющим воздействием.

Критерий качества – функционал, величина которого зависит от управляющих воздействий и характеризует уровень соответствия свойств системы желаемым. Сразу заметим, что при обилии существующих критериев управления, в данном пособии предпочтение будет отдаваться функционалу, обеспечивающему минимальное время затухания ПП, которые возникают в сколь угодно сложной системе в результате различных функциональных и случайных возмущений. Известно, что универсальной мерой скорости затухания ПП в линейных системах является степень устойчивости – величина действительной части самого правого характеристического корня на комплексной плоскости. Как будет показано в разделах книги, требование линейности к исследуемым системам может быть реализовано путем линеаризации модели исходной нелинейной системы в области некоторого произвольного (или заданного) установившегося состояния (режима).

Рассмотрим подробнее, от чего формально зависит время затухания ПП, а также устойчивость линейной системы, в уравнения движения которой входят переменные только в первой степени.

Решение линейного неоднородного ДУ в общем виде состоит из двух составляющих – вынужденной (установившейся) и свободной (переходной):

, (1.1)

где – частное решение неоднородного уравнения с правой частью, описывающее вынужденный режим системы, который устанавливается по окончании ПП (например, для ЭС он гармонический, с частотой 50 Гц); – общее решение однородного уравнения, описывающее ПП в системе, вызванный данным возмущением.

Решение x_пер(t) однородного ДУ имеет вид

, (1.2)

где C_i – постоянная интегрирования, определяющаяся начальными условиями и возмущением; – корни ХУ, которые являются комплексными:

. (1.3)

Каждая пара корней дает в выражении (1.2) составляющую ПП, равную

, (1.4)

где .

Как видно, соотношение (1.4) представляет собой синусоиду (частота ) с изменяющейся экспоненциально амплитудой. Если , то составляющая затухает. Если хотя бы одна составляющая из всех n, где n – порядок дифференциальной системы уравнений, будет иметь , система неустойчива. В частном случае, при , , ПП носит апериодический характер. В соответствии с этим для линейных систем будем различать апериодическую и колебательную устойчивость.

Таким образом, суть принятого критерия качества заключается в следующем: чем левее расположен самый правый из комплексных корней (т.е. отрицательное и максимальное по модулю), тем выше скорость затухания суммарного ПП.

Вернемся к определениям односвязности и многосвязности системы.

На рис. 1.1 представлены две одноконтурные структурные схемы регулирования двух разных параметров на некотором, например тепловом, объекте.

а	б
Рис. 1.1. Одноконтурные структурные схемы регулирования: а – температуры теплоносителя; б – давления теплоносителя

Пусть для схемы на рис. 1.1, а известны передаточная функция (ПФ) разомкнутой системы от регулирующего воздействия (например, изменение расхода топлива) к регулируемому параметру (изменение температуры теплоносителя), а также ПФ регулятора в обратной связи . Пусть ПФ и закон регулирования будут простейшими:

; , т.е. . (1.5)

Корень характеристического полинома (ХП) нерегулируемой системы (знаменателя ПФ разомкнутой системы ) полностью определяется величиной постоянной времени T_t и не может быть изменен:

. (1.6)

Очевидно, что имеет отрицательное действительное значение и определяет вид ПП после возмущения как апериодически затухающий по экспоненциальному закону . При этом интенсивность затухания зависит от величины . Соответственно при замыкании контура регулирования характеристический корень будет определяться из полинома знаменателя замкнутой ПФ:

. (1.7)

В данном случае знак и модуль вещественного характеристического корня зависят от величины и знака выбранного коэффициента усиления пропорционального регулятора . При этом существует однозначная связь: чем больше по модулю отрицательный , тем выше значение функционала качества – степени устойчивости системы . Таким образом представлен простейший пример односвязной системы.

Рассуждения относительно другого автономного (не связанного с первым) контура регулирования (рис. 1.1, б) приводят к аналогичным выводам об односвязности соответствующей ему системы.

Заметим, что при незначительных усложнениях ПФ объекта и закона регулирования, отсутствии взаимного влияния нескольких параметров (или сознательном неучете его) система может сохранять свойство односвязности при управлении.

Однако реальные системы управления и их динамические состояния характеризуются вектором взаимозависимых переменных, что часто приводит к противоречивости влияния на них одного и того же управляющего воздействия.

Рассмотрим более реальный пример регулирования рассмотренного теплового объекта (рис. 1.1), когда учитывается взаимное влияние выходных параметров (изменение температуры теплоносителя) и (изменение давления теплоносителя). На рис. 1.2 представлен регулируемый объект с параллельным воздействием двух контуров.

Рис. 1.2. Регулируемый объект с параллельным воздействием двух контуров

Двухконтурную схему (рис. 1.2) можно представить в виде одноконтурной (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Неявное представление внутренних контуров в системе

При этом

;

.

Если в системе управления имеется несколько замкнутых контуров с более сложными законами регулирования, например пропорционально–дифференцирующим: , то мно-гопараметрический ХП включает в качестве искомых настроечных параметров регуляторов несколько пар коэффициентов .

Тогда ХП можно записать в таком виде:

(1.8)

Очевидно, что установить однозначные зависимости между направлением изменения коэффициентов регуляторов, входящих в выражение (1.8) нелинейно, и критерием – степенью устойчивости в полиноме высокого порядка – невозможно. Это утверждение является обоснованием и трактовкой свойства многосвязности систем управления.

Под многосвязностью будем понимать противоречивое взаимное влияние параметров каждого регулятора и регулирующих воздействий различных регуляторов на критерии качества системы (на динамические свойства, степень устойчивости в нашем случае).

Существуют две основные схемы учета многосвязности:

1) структурное представление объекта в виде системы с вложенными контурами регулирования, как это предложено в рассмотренном примере (рис. 1.2, 1.3). В более общем виде многосвязную систему с множеством вложенных контуров можно представить следующим образом (рис. 1.4).

Вычисляется ПФ замкнутой по всем контурам системы по любому из параметров (в частности, по ) с помощью соотношения:

; (1.9)

2) структурное представление многомерного объекта, имеющего несколько входных и несколько выходных переменных, через частные ПФ, отражающие собственное и взаимное влияние параметров и контуров регулирования (рис. 1.5). На этом рисунке в качестве примера приведен двухконтурный тепловой объект, где:

– – изменение температуры теплоносителя – выходной параметр первого контура;

– – изменение расхода топлива – входной параметр первого контура;

– – изменение давления теплоносителя – выходной параметр второго контура;

– – изменение температуры наружного воздуха – входной параметр второго контура;

– – ПФ регуляторов первого и второго контуров;

– , – собственные и взаимные ПФ параметров первого и второго контуров регулирования.

Рис. 1.4. Многосвязная система с множеством вложенных контуров

Для перехода к одноконтурной системе необходимо записать выражение для ПФ части схемы L₁₁, выделенной на рис. 1.5 пунктиром:

. (1.10)

Рис. 1.5. Структурная схема многосвязной системы с использованием собственных и взаимных ПФ

Рис. 1.6. Структурная схема эквивалентной одноконтурной системы

Строгое обоснование соотношений (1.9), (1.10) и общие правила построения выражений для ПФ многоконтурных систем будут приведены в разделе п. 1.5.