3.3.8. Построение характеристического полинома и областей устойчивости многоконтурной системы управления с использованием формулы Мейсона

Выполним построение многопараметрического полинома для системы, структурная схема которой показана на рис. 3.14. Запишем выражение для ПФ параметра стабилизации (от входа к выходу ) замкнутой системы. В схеме имеются четыре соприкасающихся контура:

; (3.121)

; (3.122)

; (3.123)

. (3.124)

В формулах (3.123), (3.124) в соответствии с полной структурной схемой (рис. 3.14) и соотношениями (3.96), (3.97) ПФ прямых путей (параметров стабилизации и ) разомкнутой по всем каналам системы следующие:

; (3.125)

. (3.126)

Во всех последних соотношениях (3.121)–(3.126) и  – это также ПФ прямых путей (других параметров стабилизации и ) разомкнутой по всем каналам системы, формируемые в соответствии с формулами (3.73), (3.74) в виде

; (3.127)

. (3.128)

Тогда в соответствии с формулой Мейсона (1.33) можно составить ПФ многоконтурной замкнутой системы (рис. 3.14) в виде отношения операторных выражений для числителя и знаменателя:

. (3.129)

Знаменатель вычисляется по формуле (1.34) и является выражением для ХО, общего для ПФ по любому параметру стабилизации ( , , или ) в системе:

. (3.130)

Числитель функции (3.129) записываем как ПФ прямого пути по одному из используемых в регуляторе параметру стабилизации. В рассматриваемом случае (при выделении одного из каналов в качестве оптимизируемого канала регулирования по отклонению частоты и ее производной) числитель формируется в виде . Заметим, что при выделении одного из каналов в качестве оптимизируемого канала по отклонению электрического угла и его производной, числитель бы формировался передаточной функцией соответствующего прямого пути . В последнем случае ПФ замкнутой по всем каналам системы , сформированная по соотношению , аналогичному выражению (3.129), полностью соответствует ПФ замкнутой системы (3.109), сформированной при несколько другом подходе.

Возвращаясь к методике построения кривых Д-разбиения в плоскости двух выделенных коэффициентов регулирования, необходимо операторное выражение для характеристического знаменателя (3.130) переписать упрощенно, оставляя в явном виде подробное описание лишь выделенных для оптимизации каналов регулирования. В частности, в нашем случае при построении границы устойчивости и кривых равного качества в плоскости двух коэффициентов ( , , ) выражение для ХП (3.130) можно представить в виде

. (3.131)

В выражении (3.131) ПФ замкнутых контуров регулирования

, (3.132)

, (3.133)

(3.134)

являются известными при заданных коэффициентах и постоянных времени регулирования (3.87)–(3.89). В КП указанные параметры задаются табл. 3.2 исходных данных; ПФ прямых путей (разомкнутой системы) также известны. Соотношения для и получены выше (3.127), (3.128) , а выражение для строится на их основе (3.125), что подтверждается структурной схемой на рис. 3.14.

С учетом того, что в исследуемом разомкнутом контуре регулирования ПФ прямого пути (3.126) и ПФ звеньев канала регулирования , , из данных табл. 3.2 и выражений (3.127), (3.128) также известны, можно перейти к окончательной форме полинома в соответствии с выражением (3.117):

, (3.135)

где

; (3.136)

; (3.137)

. (3.138)

Еще раз отметим, что в уравнении (3.135) неизвестными являются только два искомых по соображениям устойчивости коэффициента регулирования: , .

Переходя в уравнении (3.135) к частотным изображениям и приравнивая к нулю действительную и мнимую часть характеристического годографа, в соответствии с уравнением (3.118) составим систему двух линейных уравнений относительно искомых коэффициентов:

. (3.139)

Семейство решений системы в виде ( , , ) образует совокупность точек кривой Д-разбиения в плоскости двух выбранных параметров.

Аналогично рассуждая, можно построить систему уравнений относительно любой пары коэффициентов усиления регулятора при известном математическом описании звеньев его каналов.