Раздел 2

п п п

п п п п

(2.38)

и п п п

где a, b к с - коэффициенты эмпирической зависимости, определяемые в результате решения системы данных уравнений.

Для выявления зависимости рекомендуется расположить в таблице значения у в порядке возрастания значений аргументов х или изобразить значения в координатной сетке. Далее необходимо выбрать тип уравнения связи между функцией и аргументом. В качестве такого уравнения связи принимают прямую линию, параболу, гиперболу, степенную функцию или многочлен. Выбор той или иной теоретической зависимости производят, учитывая физическую сущность явления, диапазон и характер изменения величин. Например, следует выбрать уравнение связи для зависимости времени перемещения автопогрузчика t от расстояния его перемещения 1 на площадке лесного склада.

Экспериментальные данные будут, естественно, показывать возрас­тание времени t с увеличением расстояния I. Если подходить чисто математически, то теоретическим уравнением могут быть прямая линия t = а + Ы, парабола типа t = а + Ы + cl² и др. Здесь и далее a, b и с - коэф­фициенты, которые после выбора уравнения связи рассчитываются мето­дом наименьших квадратов. Однако оценка этих зависимостей показывает, что они далеко не отвечают реальному процессу: при / = 0 t = а, хотя в этом случае время должно быть, разумеется, равным нулю. При малых значениях I средняя скорость перемещения автопогрузчика будет меньше, чем при больших расстояниях. Это связано с тем, что при большом рас­стоянии снижается относительное влияние времени на разгон и замедление хода автопогрузчика. Поэтому уравнение прямой линии не подходит и по этой причине.

Достовернее будет отражать реальный процесс - зависимость t = al^b: при 1 = 0 t = 0, а с ростом / время t возрастает по кривой линии; естествен­но, что а>0 и Ь>0.

После выбора теоретического уравнения связи необходимо определить значения входящих в него коэффициентов. Их значения, как отмечалось, рас­считывают методом наименьших квадратов. Суть этого метода заключается в том, чтобы выявить такие значения коэффициентов, при которых сумма квад-

It hum информация для моделирования

71

I отклонений фактических значений функции от устанавливаемой эмпири-

>11 зависимости - уравнение связи с численными значениями коэффициен-

была бы минимальной. В математической статистике приводятся много-

IMI и иные примеры расчета этих коэффициентов для различных типов урав- м( ми11 связи. В настоящее время такие расчеты выполняют, как правило, на 'ИМ, идя чего разработаны стандартные программы.

('недует оговорить некоторые особенности определения эмпирических

имостей. В ряде случаев для последующего упрощения расчетов ис-

1уют уравнения связи типа прямой линии или разделяют всю зону зави-

■ MMiiciH w f{x) на отдельные характерные участки, рассматривая зависимо-

и них как прямолинейные. Так поступают, если предполагают при по-

и г, минем моделировании процесса применить линейное программирова- шп п имеется уверенность, что отход от физической сущности взаимосвязи

мгельно скажется на точности конечных результатов.

I iни физическую сущность явления установить трудно, то принимают in 11 •■ним> типов уравнений связи и методом наименьших квадратов выби- г ".и ю, которое дает минимальное значение суммы квадратов отклонений. им >ммирическая зависимость действительна при конкретных ограниче­нии. определять значения исследуемого параметра по ней можно только в

и'М г ир!ументов, в которой проводились экспериментальные измерения.

Ili.i • "I in ни зоны (экстраполяция эмпирической зависимости) имеет возрас-

риск неточности результата с увеличением удаления от границ ус-

| in иной экспериментом зоны.

Пример определения коэффициента корреляции и корреляционной швт н мости. На лесосеке были проведены наблюдения за работой валоч-

нмчирующей машины. При этом определялись следующие пары вели-

iiiii и)и,ем спиливаемого дерева q_w и время цикла валки-пакетирования t_u

и о дерева. Результаты наблюдений сведены в табл. 2.2.

Исчисления по ранее приведенным формулам дают следующее: средние значения

^Чх" 21 h

=(0,29 + 0,43 + ... + 0,71)^- = 0,527 м³;

и in Персия

72 Раздел 2

средние квадратические отклонения

о, _=>/0,019194 = 0,1385 м³; о, 8,25 =9,91с.

Таблица 2.2

Результаты наблюдений

Номер наблю­дений	9хл,м3	tn, с	Номер наблю­дений	<?хл. м3	'ц, с	Номер наблю­дений	<?хл. И3	'ц, с
1	0,29	18	8	0,44	31	15	0,53	34
2	0,43	24	9	0,36	26	16	0,66	55
3	0,55	27	10	0,52	37	17	0,64	38
4	0,58	38	11	0,33	22	18	0,29	25
5	0,64	45	12	0,41	38	19	0,61	49
6	0,74	46	13	0,61	42	20	0,71	40
7	0,53	41	14	0,49	31	21	0,71	48

Коэффициент корреляции по формуле (2.36) равен г_я, = 0,8485.

Его значение свидетельствует о достаточно тесной связи между объ­емом хлыста и временем цикла.

Таблица 2.3

Результаты вычислений

п	9хл	А	'ц	Яхп 'ц	п	<7хл	я1	'в	(ц
1	0,29	0,0841	18	5,22	12	0,41	0,1681	38	15,58
2	0,43	0.1849	24	10,32	13	0,61	0,3721	42	25,62
3	0,55	0,3025	27	14,85	14	0,49	0,2401	31	15,19
4	0,58	0,3364	38	22,04	15	0,53	0,2809	34	18,02
5	0,64	0,4096	45	28,80	16	0,66	0,4356	55	36,30
6	0,74	0,5476	46	34,04	17	0,64	0,4096	38	24,32
7	0,53	0,2809	41	21,73	18	0,29	0,0841	25	7.25
8	0,44	0,1936	31	13,64	19	0,61	0,3721	49	29,89
9	0,36	0,1296	26	9,36	20	0,71	0.5041	40	28,40
10	0,52	0,2704	37	19,24	21	0,71	0,5041	48	34,08
11	0,33	0,1089	22	7,26	I	11,07	6,2193	755	421,15

На примере экспериментальных данных, приведенных в табл. 2.2,

применим метод наименьших квадратов для выявления линейной зависи-

II. iiiiifuM информация для моделирования

73

мости вида t_u = а + bq_xn. Для этого производим ряд вычислений, и i.i к в табл. 2.3.

В соответствии с формулой (2.37) имеем

f21a+l 1,076 = 755;

1,07а + 6,216 = 421,15.

Решив эту систему уравнений, получаем: а = 4,14; 6 = 60,3.

Таким образом, искомое уравнение имеет вид t_n= 4,15+60,З^хл-

Построив график уравнения (3.40), можно убедиться, что проходит через поле точек, разделяя его примерно пополам.

Дня углубленной проработки рекомендуем [19, 32].

2.4.3. ОБРАБОТКА СТАТИСТИЧЕСКОЙ ИНФОРМАЦИИ В КОМПЬЮТЕРНЫХ ПРОГРАММНЫХ СРЕДАХ

Изложенные выше теоретические положения и методики обработки

и гической информации, полученной в ходе различных эксперимен-

| ■ 'и, реализуются в различных математических программных средах. К ним

и • н гея Excel, Mathcad, Maple [33-35] и другие. Однако перечисленные

| ррлы лишь частично используют методики статистических процедур об- 1»иГи. | к и случайной величины и определения статистических зависимостей. I »!•, например, в них не предусмотрена возможность сравнения теоретиче-

in распределения с эмпирическим и, соответственно, выбор или под-

«и наиболее подходящего распределения к реальным данным и пр.

11олностью отвечают требованиям ГОСТа по обработке статистиче- imih минных лишь специализированные программные среды, например, I A KiRAPHICS или STATISTICA [36]. Наибольшее распространение в |'||||,||||||ке статистических результатов получила последняя из названных I |if I Поэтому далее приводится пример компьютерной обработки и кмПпри шкона распределения в среде STATISTICA.

П результате наблюдений за работой ВПМ ЛП-19 получена выборка »Hrt'n 11IIIt ирсмени цикла объемом п, равным 192. Наблюдения проводи- н|| I при запасе на гектар, равном 275 м³, и среднем объеме хлыста, рав-

'I м'. Последовательность обработки наблюдений в математической

.•I hi рммммой среде STATISTICA представлена на рис. 2.5-2.8. Анормаль­на р. i\ IIм аты исключаются лицом, принимающим решение (ЛПР), по- i и I ним сравнения рассчитанного им же критерия Греббса и его таблич- н нии, при программном пересчете статистических оценок.

сведен-

(3.39)

(3.40) прямая

72