Области событий исправности и неисправности

Состояния безотказной работы 1-й и 2-й ламп (фигуры 1 и 2 на рисунке 1.7) накладываются друг на друга, и суммируя вероятности безотказной работы ламп, мы область 3 учли дважды. Так как эта область соответствует вероятности третьего события, можно

вывести формулу для определения искомой вероятности, вычитая из суммы вероятностей исправности одной лампочки (р = 0,6) их произведение

Р = Р(А) + Р(В) - Р(А) Р(В) , (1-8)

что в нашем случае даст то же результат, что и выше

Р = 0,6 + 0,6 - 0,6 0,6 = 1,2 – 0,36 = 0,84.

Если бы события были несовместны, то есть исправность одной лампочки означала бы обязательную неисправность второй и наоборот, то изображенные на рисунке эллипсы не накладывались бы друг на друга, и искомая вероятность определялась бы как простая сумма заданных вероятностей безотказной работы лампочек..

А если бы лампочки были неодинаковые?

Задача. В ящике имеется 80 лампочек – 48 штук мощностью 100 Вт, 24 штуки мощностью 60 Вт и 8 штук мощностью 40 Вт. Вероятности безотказной работы (ВБР) лампочек 100 Вт - р₁ = 0,75, лампочек 60 Вт - р₂ = 0,50 и лампочек 40 Вт - р₃ = 0,40. Определить вероятность того, что любая наугад взятая из ящика лампочка окажется исправной.

Для решения этой задачи опять составим перечень всех возможных событий. Здесь таковых будет шесть:

1. Извлечена лампочка 100 Вт, и она исправна.

2. Извлечена лампочка 100 Вт, но она неисправна.

3. Извлечена лампочка 60 Вт, и она исправна

4. Извлечена лампочка 60 Вт, но она неисправна.

5. Извлечена лампочка 40 Вт, и она исправна

6. Извлечена лампочка 40 Вт, но она неисправна.

Из составленной полной группы несовместных событий условию задачи отвечают события 1, 3 и 5.

Вероятности каждого из этих событий определим как произведения вероятностей независимых событий – извлечения лампочки данной мощности и её ВБР.

Р(Соб₁) = (48/80) р₁ = 0,6 0,75 = 0,45;

Р(Соб₃) = (24/80) р₂ = 0,3 0,5 = 0,15;

Р(Соб₅) = (8/80) р₃ = 0,1 0,4 = 0,04.

Искомая вероятность определится суммой

Р = 0,45 + 0,15 + 0,04 = 0,64.

Решив эту задачу, мы численно проиллюстрировали известную из математики теорему полной вероятности

n

Р(А) =  р(В_i) р(А/В_i), (1-9)

i=1

где р(В_i) –вероятность извлечения из ящика лампочки i-го

значения мощности;

а р(А/В_i) - ВБР лампочки i-й мощности;

1.5.2. Понятие о случайных событиях и случайных величинах

До сих пор мы рассматривали только случайные события. В какой-то мере они подобны точке на оси, то есть никакого измерения не имеют. Но в практике есть целый ряд величин, связанных со случайными событиями, и тем не менее, таковыми не являющимися. Если у электрической лампочки измерить время её работы от включения до перегорания, то мы получим какую-то величину (время или наработку), которая у каждой отдельно взятой лампочки будет своей. Так как на работу лампочки влияет огромное количество факторов, то предсказать время ее работы до отказа заранее невозмо-

жно. Такие величины называются случайными величинами.

Случайной величиной называется величина, которая в результате испытаний может принимать то или иное значение. При этом подразумевается, что само это значение будет непременно, то есть событие, до которого эта величина измеряется, случится обязательно. Главные случайные величины, изучаемые в Теории надежности, - наработка до отказа и время восстановления.

Случайные величины бывают дискретные и непрерывные, последние встречаются гораздо чаще, например, наработка до отказа различных устройств, время восстановления после отказов, токи фидеров и вводов подстанций, напряжения на шинах подстанций и на токоприемниках электровозов и другие.

Если до опыта точно определить значение случайной величины невозможно, то, наблюдая за работой какой-то партии изделий, можно вывести некоторые объективные закономерности в поведении случайных величин. Эти закономерности описываются с помощью вероятностных характеристик распределения. В этих характеристиках используется не вероятность точного значения случайной величины, а вероятность непревышения данной случайной величиной какого-то заданного, неслучайного значения. Например, для случайной величины Т такая характеристика будет вероятностью

F(t) = p{T<t}. (1-10)

Эта характеристика называется интегральной функцией распределения случайной величины T. Как у всякой вероятности минимальное значение функции F(t) равно нулю, а максимальное - единице. Функция распреде-

ления – неубывающая функция времени. Пользоваться интегральной функцией распределения неудобно, поэтому чаще используется не сама эта функция, а ее производная по значению случайной величины (у нас – по времени) – плотность распределения случайной величины

d[F(t)]

f(t)=F′(t) = ------------. (1-11)

dt

Зная плотность распределения случайной величины, можно получить интегральную функцию распределения

t

F(t)= ∫f(t)dt. (1-12)

0

Имея функцию распределения непрерывной случайной величины, можно определить вероятность ее попадания в заданный интервал

b

p{а < T < b} = ∫f(t)dt. (1-13)

a

Это были так называемые полные характеристики случайной величины. Кроме них есть еще числовые характеристики. Главная из них – математическое ожидание М[Т].

Из теории вероятностей известно выражение математического ожидания случайной величины Х

+∞

M[Х] = ∫x f(x)dx. (1-14)

-∞

Математическое ожидание М[Т] называют первым начальным моментом случайной величины. В теории случайных величин кроме начальных используются центральные моменты или моменты центрированных случайных величин. Центрированной случайной

величиной называется отклонение какой-либо случайной величины от ее среднего значения, т. е. величина

Ť = (Т -Т_ср). (1-15)

Очевидно, что среднее значение или момент первого порядка величины Ť равен нулю. Если взять квадрат таких отклонений от среднего значения случайной величины или ее второй центральный момент, то он будет отличаться от нуля. Этот второй центральный момент случайной величины называют ее дисперсией и статистически определяют по формуле

N

D = 1/(N-1) (t_i-Т_ср)². (1-16)

i=1

Квадратный корень из дисперсии называется средним квадратичным отклонением .

 = √ D . (1-17)