Статистическая оценка параметра потока отказов (ппо)

Если имеется N объектов, то за время ∆t математическое ожидание числа отказов - ∆n(∆t)= ω_ср ∆t N. Отсюда

∆n(∆t)

ω_ср = -----------, (6-7)

∆t N

т. е. статистически параметр потока отказов равен отношению скорости изменения на отрезке ∆t числа отказавших объектов к числу объектов, поставленных на испытания, с заменой отказавших. ω_ср называется иногда осредненным параметром потока отказов.

Средняя наработка на отказ (СННО) согласно ГОСТу выражается через ППО. СННО - отношение наработки восстанавливаемого объекта к математическому ожиданию числа его отказов в течение этой наработки.

6.2. Свойства простейших потоков отказов. Закон пуассона

1. Случайные события, образующие поток, распределяются по закону Пуассона.

2. Промежутки времени между соседними событиями потока распределяются по экспоненциальному закону, то есть =Const.

3. Интенсивность отказов простейшего потока равна его параметру потока отказов, то есть ω = .

4. Плотность вероятности времени от начала потока до k-го события представляет собой распределение Эрланга

(t_k)^k-1

f_k(t_k) = ------------ Exp(t_k) , (6-8)

(k-1)!

Вернемся к первому из этих свойств – закону Пуассона. Он гласит, что вероятность ровно k событий (у нас - отказов) за промежуток времени ∆t

а ^k

р_k(∆t) = ------- Exp(-а) , (6-9)

k!

где а - математическое ожидание числа отказов в течение интервала ∆t. В случае простейшего потока отказов оно

определяется

а = ω ∆t =  ∆t . (6-10)

Закон Пуассона используют при расчетах оптимальных резервов запасных частей на планируемый период.

Задача. За время эксплуатации 125 часов установка претерпела 4 отказа со средним значением параметра потока отказов _ср=0,04 (1/ч). Определить коэффициенты готовности и простоя.

Имеющаяся информация позволяет оценить в предположении постоянства параметра потока отказов среднюю наработку на отказ Т_ср, а вслед за этим – и среднее время Θ_ср.

Т_ср = 1/0,04 = 25 часов.

Из утверждения «4 отказа за 125 часов» следует, что среднее время цикла _ср = Θ_ср+Т_ср = 125/4 = 31,25 часа, откуда

Θ_ср = 31,25 – 25 = 6,25 часа.

Задача. Коэффициент готовности тяговой подстанции К_г = 0,999315. Сколько отказов в среднем за год претерпевает ТП, если среднее значение ППО _ср = 1,3708 10^-3 (1/час).

Так как задан осредненный параметр потока отказов, то задача может быть решена только в предположении простейшего потока отказов, когда

 = λ = Сonst.

Тогда средняя наработка на отказ

Т_ср, =1/λ =1/ = 10³ / 1,3708 = 729,5 часов.

Имея значение К_г и Т_ср, мы можем определить значение _ср, а затем и среднее количество отказов ТП за год эксплуатации.

Θ_ср = Т_ср (1 - К_г)/К_г = 729,5 (1 -0,999315)/0,999315 = 0,5 ч.

Сумма _ср = Θ_ср+Т_ср представляет собой среднюю продолжительность цикла «работа – отказ – восстановление», и если число часов в году поделить на величину _ср, получим искомое количество отказов за год

8760 8760 8760

N = ----------= ---------------= ---------- = 12.

_ср 729,5 + 0,5 730

Здесь опять заданные цифры действительности не соответствуют! Всё оборудование тяговых подстанций имеет 100% -резерв, и 12 отказов тяговой подстанции за год эксплуатации – невероятно много!

Задача. На тяговой подстанции в работе находится один выпрямительный агрегат. СННО собственно выпрямителя Т_в = 12500 часов, а СННО всего агрегата Т_а = 10000 часов. Определить СННО выпрямительного трансформатора Т_т, если все потоки отказов простейшие.

Одно из свойств простейших потоков отказов  = λ = Сonst. Тогда при средней наработке на отказ агрегата Т_а = 10000 часов интенсивность его отказов λ_а =1/Т_а= 1/10000 = 10^-4 (1/час). Точно так же интенсивность отказов выпрямителя λ_в = 1/Т_в = 1/12500 = 8 10^-5 (1/час). Но выпрямитель и трансформатор в агрегате имеют основное соединение, и интенсивность отказов агрегата определяется как сумма интенсивностей отказов этих элементов. Отсюда можно определить интенсивность отказов трансформатора, а затем и его СННО.

λ_т = λ_а – λ_в = 10 10^-5 – 8 10^-5 = 2 10^-5 (1/час).

Т_т = 1/λ_т =0.5 10⁵ = 50000 часов.

Задача. Параметр потока отказов СЭС  = 10^-3/2.92 (1/час). Определить наиболее возможное число отказов системы за один год эксплуатации.

Очевидно, что задача может быть решена только в предположении простейшего потока отказов, когда применим закон Пуассона, и математическое ожидание числа отказов за год определится выражением

а = λ t =  t = (10^-3/2.92) 8760 = 3 .

Единственным способом решения этой задачи будет подстановка в выражение закона Пуассона всех реальных значений чисел отказов k и сравнение вероятностей их появления. Если при каком-то значении k эта функция будет иметь максимум, то задача будет решена. Начать следует с определения ВБР (k=0).

3⁰

р₀(год) = ---- Exp(-3) = Exp(-3).

0!

Следует заметить, что нас интересует не само значение вероятности возникновения того или иного количества отказов системы, а сравнение их между собой с целью определения максимума. Поэтому вычисление значения функции Еxp(-3) не обязательно.

3¹

при k=1 р₁(год) = ---- Exp(-3) = 3 Exp(-3).

1!

3²

при k=2 р₂(год) = ---- Exp(-3) = 4.5 Exp(-3).

2!

3³

при k=3 р₃(год) = ---- Exp(-3) = 4.5 Exp(-3).

3!

3⁴

при k=4 р₄(год) = ---- Exp(-3) = 3.375 Exp(-3).

4!

Таким образом, наиболее вероятное число отказов системы электроснабжения – k = 2 или k = 3.

Задача. За 6 лет эксплуатации система электроснабжения претерпела 12 отказов. Полагая поток отказов простейшим, оценить вероятность возникновения более одного отказа системы за следующий год эксплуатации.

Для применения закона Пуассона необходимо знать среднее число отказов в год. В данном случае а = 12/6 = 2. Но здесь возникает другое затруднение. Что значит- «более одного»? Этому условию отвечает любое число от двух до бесконечности, и прямая подстановка всех таких чисел отказов k в формулу закона Пуассона невозможна. Здесь необходимо вспомнить понятие полной группы несовместных событий и формулу (1-5).

Данная задача может быть решена только через определение вероятности противоположного события. Событием, противоположным заданному, будет событие «не более одного отказа за год эксплуатации».

Конкретных таких событий всего два – один отказ и безотказная работа, то есть k = 0 и k = 1. События {k=0}, {k=1} и {k>1} составляют полную группу - никакого четвертого события быть не может, все возможные события мы здесь учли. В то же время ни одна пара этих событий, ни все три вместе взятые не могут произойти одновременно – отказ или будет один, или больше одного, или система не откажет вовсе. Сумма их вероятностей равна единице. Тогда вероятность возникновения более

одного отказа системы электроснабжения за один год

эксплуатации определится путем вычитания из единицы суммы вероятностей безотказной работы и возникновения одного отказа. Эти вероятности определятся по формуле закона Пуассона

2⁰

р₀(год) = ---- Exp(-2) = 0.135.

0!

2¹

р₁(год) = ---- Exp(-2) = 0.271.

1!