Тема 6. Определение вероятности заданного числа отказов

6.1. Ведущая функция и параметр

Потока отказов

Рассмотрим поток отказов, полученный для N однотипных восстанавливаемых объектов. Ось времени разобьем на одинаковые интервалы, например - день, месяц, год и т. д. (рис. 6.1).

k_1j k_2j k_ij k_nj

t

0 ∆t₁ ∆t₂ ∆t_i ∆t_n

Рис. 6.1

Поток отказов n восстанавливаемых объектов.

Число отказов какого-то j-го объекта на i-м интервале - k_ij, где i-номер интервала, например - № 7 - июль-месяц; j-номер реализации, то есть порядковый номер объекта в рассматриваемой партии (один из N). Для i-го интервала определим среднее число отказов, приходящееся на один объект

N

k_срi = 1/N  k_ij. (6-1)

j=1

Математическое ожидание этой величины

N

M[k_i] = m_i = Lim[(1/N) k_ij] = Lim(k_срi). (6-2)

N→∞ j=1 N→∞

Перейдем от интервалов к реальному времени t_i = ∆t i.

За это время будет какое-то количество отказов. Нас, во-первых, интересует количество отказов на один объект, а во-вторых – математическое ожидание таких отказов, то есть сумма математических ожиданий m_i, изменяющаяся во времени.

t

Ω(t) =  m(∆t_i) . (6-3)

0

Эта величина называется ведущей функцией объекта. Ведущая функция - математическое ожидание суммарного количества отказов объекта с начала эксплуатации до рассматриваемого момента времени.

Так как число отказов не может быть отрицательным, то ведущая функция - неубывающая функция времени.

Если на графике этой неубывающей функции времени выделить прямые участки (или спрямить), то угол наклона графика Ω(t) к оси t будет разным. Больший наклон будет означать нестационарность потока отказов (рисунок 6.2).

Ω(t)

Грозы

Гололед

М(k_i)

∆t_i

t

Рис. 6.2

Ведущая функция объекта.

Изменение ведущей функции на каком-либо интервале времени ∆t_i представляет собой математическое ожидание числа отказов объекта М[k_i] за это время, и может быть определено через тангенс угла наклона графика ведущей функции

∆Ω(t) = М(k_i) = ∆t_i ω_ср, (6-4)

или

Ω(t+∆t) - Ω(t)

ω_ср = --------------------- . (6-5)

∆t

Переходя к мгновенным значениям, получим производную от ведущей функции по времени. Эта производная и есть параметр потока отказов - количественная характеристика ремонтопригодности объектов. Ведущей функцией поведение объекта описывается полностью, но пользоваться ею неудобно.

Параметр потока отказов применяется гораздо чаще. Связь этих величин следующая

ω(t) = Ω′(t),

t (6-6)

Ω(t) = ∫ω(t)dt.

0