3.4. Другие законы распределения. Суперпозиция распределений
В статистике, широко применяется нормальный закон распределения случайных величин, а также логарифмический нормальный закон. Применение их в ТН затруднено вследствие необходимости усечения, так как наша случайная величина - НДО - не может быть отрицательной. Усеченный нормальный закон имеет следующее выражение для ВБР:
р(t) = 0.5С0- С0[(t-Тcр)/], (3-14)
где С0 = 1/[0.5 + (Тcр/)] - коэффициент усечения;
Тcр и - СНДО и среднеквадратичное отклонение (корень из дисперсии);
(Тcр/)- нормированная функция Лапласа, значения которой берутся из специальных таблиц.
х
(х) = 1/√2∫Ехр(-0.5 z2) dz , (3-15)
0
где z - вспомогательная переменная.
Выражение для плотности распределения
f(t)
= С0/(√2)Ехр[-(t-Тcр)2/22].
(3-16)
Похожие выражения р(t) и f(t) и в логарифмическом нормальном законе распределения. Неудобство пользова-
ния этими законами в сравнении с законом распределения Вейбулла очевидно.
Оба эти закона двухпараметрические, так как СНДО Тcр и среднеквадратичное отклонение - параметры этих законов.
Кроме того, существует Гамма-распределение, когда
(0t)k-1
f(t) = 0 --------- Exp(0t), (3-17)
(k)
и другие законы распределения.
Суперпозиция распределений - это сумма двух или более распределений, применяемая в тех случаях, когда ни один из известных законов не подходит в должной мере к полученной статистике. Тогда
f(t) = С1f1(t) + С2f2(t), (3-18)
где С1 и С2 - коэффициенты веса, доли единицы;
f1 и f2 - любые известные распределения (разные).
С помощью этого приема можно описать самые неудобные статистические данные.
Задача. Сндо двух неремонтируемых объектов:
p1(t) = Ехр(-2 10-2 √t ),
p2(t) = 0,2 Ехр(-λ t ) + 0,8 Ехр(-8 10-4 t).
Определить параметр λ .
Выражение ВБР первого объекта соответствует закону распределения Вейбулла со значением параметра b = 0.5, поэтому СНДО первого объекта определится выражением (3-12)
Тср = а-1/b (1+1/b),
где значение а = 2 10-2=0.02. Тогда
2.0
Тср1 = (2 10-2)-2 (3.0) = ---------------- = 0.5 104 = 5000 часов.
2 10-2 2 10-2
Запишем выражение СНДО второго объекта
∞ ∞ ∞
Тср2=∫p2(t)dt = 0,2∫ Ехр(-λ t ) dt + 0,8∫ Ехр(-8 10-4 )t dt =
0 0 0
= (-0,2/λ ) (0-1) + [0,8/(-8 10-4)] (0-1) = 0,2/λ + 1000 часов.
Но по условию задачи Тср2 = Тср1 = 5000 часов, откуда
0,2/λ = 5000 – 1000 = 4000 часов, а
λ = 5 10-5 (1/час).