График р(t) в зависимости от параметра b

Второй из параметров - а является коэффициентом времени. Он сжимает или растягивает графики р(t) вдоль оси t, причем при меньших значениях параметра а график р(t) будет растянут (будет располагаться правее), а при больших – сжат (то есть будет находиться ближе к вертикальной оси).

Изменяя а и b, можно подобрать кривую практически под любую статистику.

CНДО при этом законе определяется выражением

Т_ср = а^-1/b (1+1/b), (3-12)

где (1+1/b) - Гамма-функция от аргумента (1+1/b), неэлементарная функция, являющаяся распространением понятия факториала на область нецелых чисел.

∞

(х) = ∫е^-t t^x-1 dt, (3-13)

0

где t - вспомогательная переменная.

Для целых k значения (k+1) = k!

Задача. У кривых 1 и 2, построенных на рисунке 3.3 по закону Вейбулла, параметр b одинаков. У которой из них будет больше параметр a? У которой из кривых 1 и 3, построенных по закону Вейбулла, будет больше параметр b, если их СНДО приблизительно одинаковы?

Начнем с сопоставления кривых 1 и 3. Параметр b влияет на степень изогнутости функций р(t). Кривая 3 выгнута сильнее (сначала выше кривой 1, а после точки пересечения - ниже), следовательно, ее коэффициент формы b больше, чем у кривой 1.

Вторую половину задачи решим следующим образом. Если пересечь кривые 1 и 2 горизонтальной линией, то значения этих функций будут одинаковы.

р(t)

р(t) = Exp(-at^b)

1 3 2

0 t₁ t₂ t

Рис. 3.3

Кривые, построенные по закону Вейбулла

Exp[-a₁(t₁)^b] = Exp[-a₂ (t₂)^b].

Параметр a распределения Вейбулла находится в формуле закона перед временем, (то есть является как бы скоростью), и в случае меньших значений этого параметра кривая ВБР будет проходить правее. Так как кривая 2 правее (t₂ > t₁), то временной параметр этой кривой меньше (a₂ < a₁).

Задача. Какими вариантами закона распределения Вейбулла можно аппроксимировать зависимость (t), представленную на рисунке 1.4?

Как видно из сопоставления характерной зависимости интенсивности отказов технических систем (рис. 1.4) и вариантов закона распределения Вейбулла (рис. 3.1), на первом этапе жизни технической системы характерная зависимость хорошо аппроксимируется законом Вейбулла

с параметром формы b1, а на втором – с параметром b = 1, то есть экспоненциальным законом распределения наработки до отказа. Третий этап, характеризующийся развитием процессов деградации, можно было бы описать

законом Рэлея, но для этого пришлось бы усложнять формулу, так как прямая (t) в законе Рэлея должна проходить через нуль. Поэтому самым лучшим вариантом аппроксимации кривой (t) на третьем этапе является вариант закона распределения Вейбулла с коэффициентом b2.