3.1. Экспоненциальный закон распределения

При экспоненциальном распределении наработки до отказа функция распределения и ВБР имеют вид:

q(t) = F(t) = 1 - Exp(-t) и р(t) = е^-t, (3-1)

где  - константа, параметр распределения.

Плотность распределения НДО определим как производную от вероятности отказа.

f(t) = q′(t) = (-) [- Exp(-t)] =  Exp(-t). (3-2)

Интенсивность отказов определится как отношение плотности распределения к ВБР.

(t) = f(t)/p(t) =  Exp(-t)/Exp(-t) = . (3-3)

Таким образом, главной особенностью экспоненциального закона распределения НДО является

независимость от времени интенсивности отказов . Наоборот, если известно, что  = Сonst, то это означает, что имеет место экспоненциальный закон распределения наработки до отказа.

CНДО определим по выражению (2-32).

∞ ∞

Т_ср = ∫p(t)dt = ∫ Exp(-t)dt =

0 0 (3-4)

∞

= 1/(-) Exp(-t)  = 1/(-)(0 - 1) = 1/.

0

Таким образом, средняя наработка до отказа при экспоненциальном законе распределения представляет собой величину, обратную интенсивности отказов.

При исследовании надежности изделий экспоненциальное распределение НДО применяется чаще других. Можно назвать три причины такого применения:

1. Это распределение типично для сложных объектов, состоящих из многих элементов с разными распределе-ниями их НДО. Кроме того, для многих объектов можно «снять приработку» (рис. 1.4, стр. 16, см. выше). Если перед началом эксплуатации провести обкатку, стендовые или ходовые испытания, пробное включение, начало отсчета наработки сместится на начало второго периода, где интенсивность отказов близка к постоянной.

2. При этом законе простые выражения.

3. При ограниченных возможностях экспериментальных исследований принимают =Const в качестве первого приближения, когда ничего другого предположить нельзя по причине нехватки информации.

Задача. Какая информация заключена в утверждении «интенсивность отказов элементов λ_э = 0,007 (1/час)»?

Первое – интенсивность отказов этих элементов не

зависит от времени, а это означает, что их наработка до отказа распределяется по экспоненциальному закону.

Второе. Представим величину 0,007 (1/час) в виде дроби по выражению (2-29) в нескольких вариантах:

7 7 7 7

0,007 = ----------- = ------------ = ----------- = ----------- .

1 1000 10 100 100 10 1000 1

Первый вариант означает, что в данном случае будет происходить в среднем 7 отказов каждый час из тысячи работающих, а второй – 7 отказов из каждой сотни за десять часов и так далее. Важно понимать, что последняя форма равенства с точки зрения Теории надёжности невозможна! Если к началу интервала 1000 часов остался только один объект, то в течение этого интервала семь отказов произойти никак не может.

Задача. Плотность распределения НДО быстродействующих выключателей для момента времени, равного СНДО, составляет 184 10^-6 (1/час). Считая справедливым экспоненциальный закон распределения НДО выключателей, определить интенсивность их отказов.

Итак, нам дано: f (Т_ср) = 184 10^-6 (1/час), λ = Сonst = ?

На основании (3-2) запишем

f(Т_ср) = λ Ехр(-λ Т_ср).

Произведение интенсивности отказов и СНДО при экспоненциальном законе распределения равно единице. Поэтому

f(Т_ср) = λ Ехр(-λ Т_ср) = λ Ехр(-1) = 184 10^-6 (1/час).

Отсюда интенсивность отказов

λ = f(Т_ср)/ е^-1 = е 184 10^-6 = 5 10^-4 (1/час).

Задача. В течение некоторого интервала времени из партии изделий, поставленных на испытания, произошло 8 отказов, а в течение такого же следующего интервала – еще 6. Определить количество изделий, оставшихся исправными к моменту времени, разделяющему эти интервалы, в предположении экспоненциального закона распределения НДО изделий.

На первый взгляд в задаче не хватает исходных данных. Но это не так. Что нам дано? Два равных интервала времени t между тремя моментами времени - t₁, t₂ и t₃. Кроме того, нам известен закон распределения НДО – экспоненциальный, а главная особенность этого закона – постоянство интенсивности отказов, значит, записав выражения ее статистических оценок для каждого из этих интервалов, мы получим уравнение

n(t₁, t₂)  n(t₂, t₃)

-------------- = --------------- .

t N(t₁) t N(t₂)

Сократим t и подставим известные величины:

8  6

---------- = --------- .

 N(t₁) N(t₂)

В полученном уравнении два неизвестных – N(t₁) и N(t₂), поэтому необходимо найти их связь между собой. Оба эти числа представляют собой количество исправных изделий к моментам начал соответствующих интервалов. Но если к моменту времени t₁ было исправно N(t₁), изделий, а к моменту времени t₂ осталось только N(t₂), то разность этих чисел не что иное, как число отказавших в промежутке между ними, т.е. n(t₁,t₂) = 8. Отсюда второе уравнение

N(t₁) = N(t₂)+8.

Решая систему этих уравнений способом подстановки, получим

8 6

------------ = ---------- .

 N(t₂)+8 N(t₂)

6 [N(t₂)+8] = 8 N(t₂), откуда N(t₂) = 24.