2.4. Средняя наработка до отказа (сндо)

СНДО - математическое ожидание времени работы объекта до отказа.

Т_ср = M[T]. (2-30)

В предыдущей главе была приведена формула матема-тического ожидания случайной величины. В нашей науке случайная величина - наработка до отказа Т. Она не может быть отрицательной. Поэтому формула (1-14) примет вид

∞ ∞ ∞

Т_ср = ∫t а(t)dt = ∫t q′(t)dt =∫t[1-p(t)]′dt. (2-31)

0 0 0

После преобразований получим выражение для СНДО (без вывода):

∞

Т_ср = ∫p(t)dt. (2-32)

0

Средняя наработка до отказа любого объекта определяется как площадь под кривой его ВБР.

2.5. Связь показателей надёжности. Общая формула вбр

Первая такая связь (2-32) завершила § 2.4. Это связь СНДО и ВБР, а вторая - выражение (2-3):

р(t) + q(t) = 1.

Третья связь показателей надежности вытекает из выражения (2-22).

t t

q(t) = ∫а(t)dt; р(t) = 1 - ∫а(t)dt.

0. 0

Однако главная связь показателей надежности невосстанавливаемых изделий - это связь интенсивности отказов и ВБР. Рассмотрим выражение (2-28)

(t) = f(t)/р(t) = q′(t)/р(t) =

[1-p(t)]′ p′ (t) 1 d[p(t)] (2-33)

= ------------ = - ----------- = - ------- ----------- .

р(t) р(t) р(t) dt

Умножим первую и последнюю формы этого выражения на (-dt) и поменяем левую и правую части равенства местами. Получим однородное дифференциаль-ное уравнение

d[p(t)]

----------- = - (t) dt . (2-34)

р(t)

Это простейшее уравнение, имеющее табличное решение. Интеграл от левой части - табличный интеграл от dх/х, равный натуральному логарифму х.

Поэтому решение этого дифференциального уравнения будет иметь вид

t

Ln[р(t)] = - ∫(t)dt. (2-35)

0

Представим обе части равенства (2-35) в виде показателей степени основания натуральных логарифмов.

Левая часть по определению натурального логарифма будет сама ВБР, а правая примет вид

t

р(t) = Ехр[-∫(t)dt]. (2-36)

0

Эта формула называется общей формулой ВБР. Она показывает, что вероятность безотказной работы является показательной функцией независимо от характера зависимости (t) (как будет показано в следующей теме - от закона распределения).

Рассмотренные критерии позволяют полностью оценить надежность невосстанавливаемых изделий, а также восстанавливаемых - до первого отказа.