2.2. Частота отказов

2.2.1. Вероятностное определение

Частота отказов - это производная по времени от вероятности отказа

а(t) = q′(t). (2-21)

Зная частоту отказов, можно определить вероятность отказа

t

q(t) = ∫а(t)dt. (2-22)

0

Сравнивая выражения (1-11) и (2-21), можно заметить, что частота отказов представляет собой плотность распределения наработки до отказа Т

а(t) = q′(t) = F(t) = f(t). (2-23)

Зависимости вероятности и частоты отказов от времени представлены на рисунке 2.4.

Рис 2.4.

Частота и вероятность отказов

2.2.2. Статистическая оценка

Если частота отказов - это производная по времени от вероятности отказа

d[q(t)]

f(t)= ------------,

dt

то её статистическая оценка

∆q^*(t,t+∆t)

f^*(t,t+∆t) = ----------------, (2-24)

∆t

где

∆q^*(t,t+∆t) = q^*(t+∆t)-q^*(t) = [n(t+∆t)-n(t)] / N(0). (2-25)

Разделив выражение (2-25) на ∆t, получим выражение cтатистической оценки частоты отказов

n(t+∆t) - n(t) ∆n(t,t+∆t)

f^*(t,t+∆t) = ------------------- = -----------------. (2-26)

∆t N(0) ∆t N(0)

Статистически частота отказов представляет собой отношение числа отказов в единицу времени (числитель, деленный на ∆t) к первоначальному числу изделий, поставленных на испытания. Мера приближения статистической оценки к теоретическому значению (устойчивость оценки) возрастает с увеличением N(0) и уменьшением интервала времени ∆t.

2.3. Интенсивность отказов

ГОСТ 27.002-89 дает следующее определение интенсивности отказов:

Интенсивность отказов (t) - условная плотность вероятности возникновения отказа объекта, определяемая при условии, что до рассматриваемого момента времени отказ не возник.

Ранее мы рассмотрели условную вероятность возникновения отказа объекта q(t,t+∆t), определяемую при условии, что до рассматриваемого момента времени отказ не возник. Разделив её на ∆t, получим

q(t,t+∆t) q(t+∆t) - q(t) ∆q(t,t+∆t) f(t)

------------ = ------------------ = ------------- = -------- . (2-27)

∆t ∆t р(t) ∆t р(t) р(t)

Условная плотность вероятности возникновения отказа объекта определится как отношение частоты отказов к ВБР.

a(t) f(t)

(t) = ------- = -------. (2-28)

р(t) р(t)

Статистическая оценка интенсивности отказов должна представлять собой отношение статистической частоты отказов к статистической ВБР

f^*(t,t+∆t) n(t+∆t) - n(t) ∆n(t,t+∆t)

^*(t) = ------------ = ------------------ = --------------. (2-29)

р^*(t) ∆t N(t) ∆t N(t)

Статистическая оценка интенсивности отказов – отношение числа отказов в единицу времени к числу изделий, исправно работающих в момент времени t, то есть, в начале интервала.

Задача. Интенсивность отказов полупроводниковых вентилей равна 1.25 10^-2 1/час. В системе 100 вентилей. За 4 часа работы функция надежности изменяется на 0,02. Определить число отказов вентилей за этот промежуток времени и общее число отказавших вентилей в начале рассматриваемого периода.

Прежде всего, запишем данные и искомые величины символами Теории надёжности. Общее число объектов N(0) = 100. Заданный интервал времени ∆t(t,t+∆t) = 4 часа. ∆p(t, t+∆t) = 0,02.

Число отказов вентилей за эти 4 часа работы ∆n(t, t+∆t).

∆n(t, t+∆t) = N(0) ∆p(t, t+∆t) = 100 0,02 = 2.

Применяя к интенсивности отказов выражение (2-29), отметим, что в нём нам неизвестна лишь величина N(t) – число исправных изделий к моменту начала интервала. Умножив обе части выражения (2-29) на эту величину и разделив на заданную нам величину λ*( t, t+∆t), получим

∆n(t, t+∆t) 2 200

N(t) = -------------------- = ----------------- = ----------- = 40.

∆t λ*( t, t+∆t) 4 1.25 10^-2 4 1.25

Преобразуя выражение (2-14), определим вторую искомую величину

n(t ) = N(0) - N(t) = 100 – 40 = 60.