2.1.3. Статистические оценки вбр и вероятности отказа

Пусть в момент времени t=0 в работу включены N(0) однотипных исправных испытуемых изделий. В процессе работы изделия будут выходить из строя, каждое в какой-то момент времени. Заранее эти моменты предсказать невозможно, так как на техническое состояние испытуемых изделий влияет очень большое число различных факторов. Сами отказы являются случайными событиями и никаких измерений не имеют. На рисунке 2.3, где этот процесс показан графически, отказы помечены крестиками. Наработка изделий до отказа тоже случайна, но это – случайная величина, так как она имеет измерение (в единицах времени). Если мы зададимся

каким-то неслучайным значением времени t, то некоторое количество изделий откажет раньше, а остальные изделия будут к этому моменту работоспособными. Пусть за время t отказало n(t) изделий. Остались в работе N(t) изделий.

N(t) = N(0) - n(t). (2-14)

1 t

2 t

3 t

j-1 t

j t

N (0)-1 t

N(0) t t

Рис 2.3.

Отказы партии испытуемых изделий в течение времени

Статистическая оценка ВБР будет представлять собой отношение числа работающих изделий N(t) к общему числу изделий, поставленных на испытания N(0)

N(t)

р^*(t) = --------- . (2-15)

N(0)

Статистическая оценка вероятности отказа – отношение числа отказавших изделий n(t) к общему числу изделий, поставленных на испытания

n(t)

q^*(t) = --------- . (2-16)

N(0)

Статистическая оценка условной ВБР

p^*(t+∆t) N(t+∆t)

p^*(t,t+∆t) = ------------- = ----------- . (2-17)

p^*(t) N(t)

Наибольший интерес представляет статистическая оценка условной вероятности отказа

N(t+∆t)

q^*(t,t+∆t) = 1 - p^*(t,t+∆t) = 1 - ------------- =

N(t)

(2-18)

N(t) - N(t+∆t) n(t+∆t) - n(t) ∆n(t,t+∆t)

= 1 - ------------------ = ---------------- = ------------- .

N(t) N(t) N(t)

Связь между двумя формами представления ВБР и вероятности отказов следующая. Если бы мы включили в работу бесконечное число однотипных исправных испытуемых изделий, т.е. N(0) = ∞, то теоретическая ВБР совпала бы со статистической (то же самое и вероятность отказа). На практике это совпадение будет тем ближе, чем больше будет взято число N(0).

Задача. В компенсирующих устройствах ЭЧ работает 70 высоковольтных конденсаторов, функция надежности которых задана таблицей. Сколько конденсаторов может отказать в течение 4-го года эксплуатации?

t , год	1	2	3	4
р*(t)	0,95	0,88	0,75	0,65

Прежде всего, представим эту информацию в символах нашей науки. Общее число изделий, поставленных на испытания N(0) = 70. Число отказов в интервале «четвертый год» – это число отказов между его началом и концом. Если с концом года все ясно, то где начало этого периода? Это конец предыдущего года, то есть третьего. Тогда искомое число отказов обозначится ∆n(3,4).

∆n(3,4) = n(4) - n(3) = N(3) - N(4),

так как для любого момента времени справедливо равенство

n(t) + N(t) = N(0). (2-19)

Здесь N(t) – число изделий, оставшихся исправными к моменту времени t, а n(t) – число изделий, к этому моменту отказавших.

Из выражения (2-15) статистической оценки ВБР

N(t) = р^*(t) N(0). (2-20)

Тогда  ∆n(3,4) = N(0) [р*(3) - р*(4)] =

= 70 (0,75–0,65) = 70 0,1 = 7 конденсаторов.