Зависимость от времени вбр и вероятности отказа

Задача. Функция надёжности (зависимость ВБР от времени) аккумуляторной батареи, работающей без подзаряда, описывается эмпирической формулой р(t) = 1 – 1,5625 10^-6t², где t – время в часах. Определить максимальное время Т_мах, в течение которого возможна работа батареи до наступления необратимого отказа, то есть разрушения батареи из-за отсутствия подзаряда.

Что такое «необратимый отказ» и чем он характеризуется? Как связать этот отказ с имеющейся зависимостью ВБР от времени? Чему равно значение ВБР в момент отказа? Оно равно нулю. Поэтому, приравнивая заданное выражение нулю, и заменяя t на Т_мах, получим ответ:

0 = 1 - 1,5625 10^-6 Т_мах ²;

откуда Т_мах = 800 часов.

2.1.2. Условные вероятности отказа и вбр

Вероятности р(t) и q(t) рассмотрены за наработку, отсчитываемую с начала, с нуля времени. Но иногда нужно определить ВБР в течение заданного промежутка времени такого объекта, который некоторое время уже отработал (рис. 2.2). Теперь t - время, отработанное объектом безотказно с начала работы, а ∆t - время, которое объект должен проработать после момента времени t.

t=0 t t+∆t

t

∆t

Рис. 2.2.

р(t,t+∆t) - условная вероятность того, что объект не откажет на интервале от t до t+∆t при условии, что он не отказал на интервале от 0 до t.

р(t,t+∆t) = р{Тt+∆t при условии Тt}. (2-7)

Отметим, что ранее рассмотренные выражения ВБР и вероятности отказа также можно представить в виде вероятностей на интервале:

р(t) = р(0,t) и q(t) = q(0,t). (2-8)

Рассмотрим составляющие выражения (2-7) по отдельности. На основании определения (2-1)

р{Тt+∆t} = р(t+∆t), (2-9)

р{Тt} = р(t). (2-10)

Если принять допущение о независимости друг от друга отказов на интервале от 0 до t и на интервале от t до t+∆t, то полная вероятность р(0,t+∆t) того, что объект не откажет на интервале от t = 0 до t+∆t определится по формуле сложного события (1-7)

р(0,t+∆t) = р(0,t) р(t,t+∆t), (2-11)

а искомая условная вероятность р(t,t+∆t) того, что объект не откажет на интервале от t до t+∆t при условии, что он не отказал на интервале от 0 до t, определится отношением

р(t+∆t)

р(t,t+∆t) = -------------. (2-12)

р(t)

Отсюда можно определить условную вероятность отказа q(t,t+∆t) на интервале ∆t при условии исправной работы объекта на интервале от 0 до t

р(t+∆t)

q(t,t+∆t) = 1 - р(t,t+∆t) = 1 - ------------ =

р(t)

(2-13)

р(t) - р(t+∆t) q(t+∆t) - q(t)

= ------------------ = --------------------.

р(t) р(t)