Задание 5

Построение графика функции

r = f(φ)

осуществляют так: а) строят для функции r = f(φ) соответствующую функцию у=f(х); б) исследуют функцию r = f(φ), сравнивая ее с соответствующей функцией у=f(х), учитывая особенности полярной системы координат; в) выполняют построение графика функции r = f(φ) по графику функции у=f(х).

2.Задания по контрольной работе №1 Задание 1

Даны точки А, В и угол α. Требуется:

1. написать уравнение прямой, проходящей через точку В и составляющей угол α с положительным направлением оси Ох (прямая I);

2. написать уравнение прямой, проходящей через точки А и В (прямая II);

3. найти расстояние от начала координат до прямой II;

4. найти основание перпендикуляра, опущенного из точки А на прямую I;

5. найти координаты точки А₁, симметричной точке А относительно прямой I.

№ варианта	Координаты точки А	Координаты точки В	Угол α
1	(-3,3)	(1,-4)	arctg(3/2)
2	(8,1)	(6,-5)	arctg(-2)
3	(-9,1)	(-1,-5)	arctg(3)
4	(-3,-2)	(4,2)	arctg(-2/3)
5	(-6,7)	(4,5)	arctg(2/3)
6	(-1,-8)	(-5,0)	arctg(-1/3)
7	(6,7)	(-2,6)	arctg(-3/2)
8	(-4,10)	(-2,4)	arctg(2)
9	(-4,-2)	(3,7)	arctg(1/3)
10	(10,2)	(3,1)	arctg(4/3)

Задание 2

Составить уравнения сторон квадрата, если известно, что одной из диагоналей

квадрата является отрезок прямой Ах+Ву+С=0, концы которого лежат на осях координат.

№ варианта	А	В	С
1	2	–5	10
2	–4	3	12
3	7	3	–21
4	5	4	–20
5	–3	2	6
6	6	–3	18
7	2	7	14
8	8	5	40
9	3	–5	15
10	4	–7	–28

Задание 3

1. Дан эллипс 16х²+25у²=400. Найти длины его осей, координаты фокусов и эксцентриситет.

2. Дан эллипс 5х²+49у²=245. Найти те его точки, которые отстоят на расстоянии двух единиц длины от его малой оси.

3. Составить простейшее уравнение гиперболы, если гипербола проходит через точки (2,√3) и (√2,-1).

4. Составить простейшее уравнение гиперболы, если асимптоты ее даны уравнениями у=±2х/3 и гипербола проходит через точку (5,2).

5. Найти длину хорды, проходящей через фокус параболы у²=8х и перпендикулярной с ее оси симметрии.

6. Парабола у²=5х пересекает окружность (х-5)²+у²=325. Найти уравнение их общей хорды.

7. Найти уравнение окружности, описанной около треугольника, вершины которого имеют координаты А(-1,1), В(6,2), С(7,-5).

8. В эллипс 4х²+9у²=36 вписан прямоугольник, две противоположные стороны которого проходят через фокусы эллипса. Найти площадь этого прямоугольника.

9. Отрезок прямой, проходящей через центр гиперболы 4х²-9у²=320 и пере-секающей ее в двух точках, имеет длину 4√29. Найти уравнение этой прямой.

10. Написать уравнение окружности, проходящей через точки А(-6,3) и В(0,5), зная, что ее центр лежит на прямой 2х-у+5=0.

Задание 4

Преобразовать к каноническому виду уравнения и построить кривые:

1. 5х²-26ху+5у²+72=0.

2. 3х²+26√3ху-23у²-144=0.

3. 23х²-26√3ху-3у²+144=0.

4. 13х²-10ху+13у²-72=0.

5. 21х²-10√3ху+31у²-144=0.

6. 13х²-6√3ху+7у²-16=0.

7. х²-2√3ху+3у²-16√3х-16у=0.

8. 4х²-8ху+4у²-√2х-√2у=0.

9. 3х²-2√3ху+у²-х-√3у=0.

10. 8х²-34ху+8у²+225=0.

Задание 5

Построить в полярных координатах линию r = f(φ).

1. r = 3(1-cosφ).

2. r² = 4cos2φ.

3. r = 4sin3φ.

4. r = 3sin2φ.

5. rcosφ = 5.

6. r= 9/(5-4cosφ).

7. r= 9/(4-5cosφ).

8. rsinφ = 4.

9. r = 3/(1-cosφ).

10. r = 2cos3φ.

3. Теоретический материал,

необходимый для выполнения контрольной работы №2

Задание №1

• Уравнение прямой, проходящей через две точки:

• Пусть прямые заданы каноническими уравнениями

и

Если прямые параллельны, то параллельны их направляющие вектора и , т.е.

Если прямые перпендикулярны, то перпендикулярны их направляющие вектора и , т.е.

• Расстояние от точки М(X, Y, Z) до прямой

определяется по формуле

• Уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(x₀,y₀,z₀) и имеющей нормальный вектор :

• Уравнение вида

называется общим уравнением плоскости.

• Уравнение плоскости, проходящей через три точки:

где М₁(x₁,y₁,z₁), M₂(x₂,y₂,z₂), M₃(x₃,y₃,z₃) − точки, не лежащие на одной прямой.

• Расстояние от точки М₀(x₀,y₀,z₀) до плоскости :

• Угол, образованный двумя плоскостями и :

Условие параллельности:

Условие перпендикулярности:

• Угол между прямой и плоскостью :

Условие параллельности:

Условие перпендикулярности: