Тема 11. Основи математичної логіки

Як наука логіка виникла у IV ст. до н.е. у працях давньогрецького філософа Аристотеля, основоположника формальної логіки.

Ідею математизації логіки висловив ще у XVII ст. великий німецький вчений Лейбниць. Він сформулював задачу створення нової логіки, яка була б „мистецтвом обчислення”.

Тільки у середині XIX ст. ірландський математик Дж. Буль частково втілив у життя ідею Лейбниця.

Математична логіка займається формалізацією деякої області людського мислення, у тому числі з метою надання можливості написання програми для обчислювальної машини, яка в цьому розумінні отримає здатність міркувати. Під час підготовки до практичного заняття крім конспекту лекцій рекоменду­ється використовувати [1, c. 183-185; 2, c. 183-185].

Тема 12. Логіка висловлювань Висловлення – це оповідальне речення, про яке можна сказати, істинне воно чи хибне, але не те й інше водночас.

Істина або хибність, яка приписана деякому висловленню, називається істиннісним значенням цього висловлення. Позначається: „Істина” – І, Т (True) або 1, „Хибність” – Х, F (False) або 0.

Атомами (елементарними висловлюваннями) називаються висловлення, які відповідають простим оповідальним реченням, тобто не мають складових частин.

Логіка висловлювань – це алгебраїчна структура ({X,I},,, ,,~,X,I) з носієм – війковою множиною {X: ”Хибність”, I: ”Істина”}, операціями – логічними зв’язками ( – кон’юнкція , – диз’юнкція, – заперечення,  - імплікація, ~ – еквівалентність) і константами: Х – хибність і І – істина.

У логіці висловлювань правильно побудована формула визначається рекурсивно так:

1. Атом є формула.

2. Якщо А і В – формули, то (АВ), (АВ), (АВ), (А~В) і А – також формули.

3. Ніяких формул, крім породжених вказаними вище правилами, не існує.

При вивченні теми необхідно ознайомитися з матеріалом підручників [1, 183-207; 2, c. 183-207; 3, c. 47-50, c. 73-78; 9, c. 64-82; 15, c. 46-68; 15, 2 c. 3-63].

Тема 13. Логіка першого порядку (лпп)

У деяких задачах постає необхідність удосконалити логіку висловлень з тим, щоб вона повніше пояснювала здібності людини робити логічні висновки. Для цього до логіки предикатів введено додаткові, нові порівняно з логікою висловлювань логічні поняття, а саме: терм, предикат і квантор.

Визначено деякий предикат, якщо:

1. задана деяка (довільна) множина М, що називається областю визначення предиката (предметна область);

2. фіксована множина {0,1}, що називається областю значень;

3. вказане правило, за допомогою якого кожному елементу, що взятий з предметної області, ставиться у відповідність один з двох елементів з області значень.

Предикат Р, що має n аргументів, називається n-місним предикатом, позначається P(x₁,x₂,…,x_n).

Кількість аргументів предиката P(x₁,x₂,…,x_n) називається його порядком.

Аргументи предиката називаються термами. Терм визначається рекурсивно так:

1. Константа є терм.

2. Змінна є терм.

3. Якщо f є n-місним функціональним символом, а t₁,t₂,…,t_n – терм, то f(t₁,t₂,…,t_n) є терм.

4. Ніяких термів, крім породжених за допомогою вказаних вище правил, не існує.

Нехай Р(х) – предикат, визначений на М. Висловлення „для всіх хМ, Р(х) істинне” позначається хР(х). Знак  називається квантором загальності.

Висловлення „існує таке хМ, що Р(х) істинне” позначається хР(х), де знак  називається квантором існування.

Всі закони і тотожності, справедливі у логіці висловлень, залишаються справедливими і у логіці предикатів. Крім того, у логіці предикатів існують додаткові закони, призначені для еквівалентного перетворення формул, що містять квантори та змінні.

Правильно побудованими формулами логіки предикатів називаються формули, які можна рекурсивно визначити так:

1. Атом є формулою.

2. Якщо F і G – формули, то (F), (FG), (FG), (FG), (F~G) також є формулами.

3. Якщо F – формула, а x – вільна змінна, то (x)F і (x)F теж формули.

4. Ніяких формул, крім породжених вказаними вище правилами, не існує.

Частина формули, на яку поширюється дія квантора, називається областю дії квантора.

Формула F в логіці предикатів знаходиться у випередженій нормальній формі (ВНФ) тоді і тільки тоді, коли вона може бути зображена у вигляді (Q₁x₁)…(Q_nx_n)(M), де кожне (Q₁x₁), i=1,…,n, є або (x), або (x), а M – формула, що не містить кванторів. Причому (Q₁x₁)…(Q_nx_n) називається префіксом, а М – матрицею формули F.

При вивченні теми рекомендується використовувати [1, c. 207-231; 2, c. 207-231; 3, c. 78-81; 4, c. 74-82, 9, c. 82-99; 15, c. 68-89; 17, c. 23-63].