4 Методичні вказівки до вивчення дисципліни

Тема 1. Вступ

У повсякденному житті та практичній діяльності часто доводиться говорити про деякі сукупності різних об’єктів: предметів, понять, чисел, символів тощо. Наприклад, сукупність деталей механізму, аксіом геометрії, чисел натурального ряду, літер абетки. На основі інтуїтивних уявлень про подібні сукупності сформувалося математичне поняття множини. Значний внесок до теорії множин зробив Георг Кантор. Згодом завдяки його дослідженням теорія множин стала цілком визначеною та обґрунтованою галуззю математики, а на сьогодні вона набула фундаментального значення [1, c. 9-10; 2, c. 9-10].

Тема 2. Основні поняття теорії множин. Алгебра множин

Множина є настільки загальним і водночас початковим поняттям, що її чітке визначення через більш прості поняття дати важко. Тому слідом за Г. Кантом ми приймаємо інтуїтивне уявлення про множину як сукупність деяких елементів, цілком визначених у випадку кожної конкретної множини.

Способи задання множин.

1. Простий перелік елементів А={a₁, a₂,…, a_n,}.

2. Опис елементів визначеною властивістю: X={x|P(x)}, де P(x) означає, що елемент х має властивість P(x).

Операції на множинах:

1) об’єднання (сума) AB;

2) перетин (добуток) AB;

3) різниця A\B;

4) доповнення (заперечення) .

Множина 2^U всіх підмножин універсальної множини U із заданими на ній чотирма операціями складає алгебру множин. При вивченні теми необхідно ознайомитися з матеріалом підручників [1, c. 9-11; 2, c. 9-11; 3, c. 6-10; 4, c. 8-18; 9, c. 4-11; 12, c. 16-35; 15, c. 7-13; 17, c. 7-22].

Тема 3. Відношення та їх властивості

Відношення реалізують у математичних термінах на абстрактних множи­нах реальні зв’язки між реальними об’єктами. Відношення застосовуються при побудові комп’ютерних баз даних, які організовані у вигляді таблиць даних. Зв’язки між групами даних у таблицях описуються мовою відношень. Самі дані обробляються і перетворюються мовою відношень.

Під n-арним відношенням R на множині Х розуміється підмножина n-го ступеня цієї множини RXⁿ. Якщо n=1, то відношення називається унарним, якщо n=2 – бінарним.

Способи задання бінарних відношень.

1. Будь-яке бінарне відношення може бути задане у вигляді списку, елементами якого є пари, з яких складається відношення.

2. Бінарне відношення R на множинах X і Y може бути задане за допомогою матриці (W=W(R)), рядки якої відповідають елементам множини X, стовпчики – елементам множини Y.

3. Бінарне відношення R на множинах X, Y може бути задане графічно.

Операції над відношеннями: обернене відношення, композиція відно­шень, степінь відношення, переріз відношення, фактор-множина.

Властивості бінарних відношень: рефлексивність, антирефлексивність, симетричність, асиметричність, антисиметричність, транзитивність, антитранзитивність.

Бінарні відношення підрозділяються на відношення еквівалентності, порядку та толерантності. При вивченні теми необхідно ознайомитися з матеріалом підручників [1, c. 30-54; 2, c. 30-54; 3, c. 13-20; 4, c. 29-35; 9, c. 17-29; 12, c. 98-132; 15, c. 13-29; 17, c. 7-22].