Тема 8. Алгебра Жегалкіна

Алгебра (В,,,0,1), що утворена множиною В={0,1} разом з операціями  (кон’юнкції),  (XOR – от eXclusiva OR, сума за модулем 2) і константами 0,1, називається алгеброю Жегалкіна.

Серед усіх еквівалентних зображень функції в алгебрі Жегалкіна виділяється особливий вид формул, що називаються поліном Жегалкіна.

Поліномом Жегалкіна називається скінченна сума за модулем 2 попарно різних елементів кон’юнкцій над множиною змінних {x₁,x₂,…,x_n}. Кількість змінних, що входять до елементарної кон’юнкції, називається рангом елементарної кон’юнкції.

Кількість попарно різних елементарних кон’юнкцій у поліномі називається довжиною полінома.

Булева функція називається лінійною, якщо її поліном Жегалкіна не містить кон’юнкцій змінних.

При вивченні теми необхідно ознайомитися з матеріалом підручників [1, c. 138-145; 2, c. 138-145; 4, c. 66-67; 9, c. 57; 12, c. 58-59; 17, c. 23-63].

Тема 9. Функціональна повнота наборів булевих функцій

Замкненням множин  булевих функцій називається множина [], що складається з функцій, які можна одержати суперпозицією функцій з . Якщо =[], то множина булевих функцій  називається замкненим класом. Іншими словами можна сказати, що множина  називається замкненим класом, якщо будь-яка суперпозиція функцій з  також належить .

Система булевих функцій ={f₁,f₂,…,f_n} називається функціонально повною, якщо []=Р₂.

Булева функція f(x₁,x₂,…,x_n) називається функцією, що зберігає 0, якщо на нульовому наборі вона дорівнює 0: f(0,0,…,0)=0.

Булева функція f(x₁,x₂,…,x_n) називається функцією, що зберігає 1, якщо на одиничному наборі вона дорівнює 1: f(1,1,…,1)=1.

Булева функція f називається монотонною, якщо для будь-яких пар наборів значень змінних (a₁,…,a_n) і (b₁,…,b_n), для яких виконується відношення (a₁,…,a_n)  (b₁,…,b_n), правильна і нерівність f(a₁,…,a_n) f(b₁,…,b_n).

Система  булевих функцій повна, якщо і тільки якщо вона містить хоча б одну функцію, що не зберігає нуль, хоча б одну функцію, що не зберігає одиницю, хоча б одну несамодвоїсту функцію, хоча б одну немонотонну функцію і хоча б одну нелінійну функцію. Під час підготовки до практичного заняття необхідно вивчити відповідний розділ конспекту лекцій та ознайомитися з матеріалом підручників [1, c. 145-155; 2, c. 145-155; 3, c. 55-61; 9, c. 56-59; 12, c. 55-62; 17, c. 23-63].

Тема 10. Методи мінімізації булевих функцій

Пошук найбільш простої логічної формули булевої функції має велике значення при формуванні запитів до баз даних, у логічному програмуванні, в інтелектуальних системах.

Задача мінімізації складається з пошуку найпростішої, згідно з обраним критерієм мінімізації, формули. Критерії можуть бути різними, наприклад: кількість змінних у формулі, кількість знаків кон’юнкції та диз’юнкції або комбінація подібних критеріїв.

Карта Карно для ДНФ (діаграма Вейча – для КНФ) є аналогом таблиці істинності, зображеній у спеціальній формі. Значення змінних розташовані у заголовках рядків і стовпчиків карти.

Для конкретної булевої функції карта Карно заповнюється так. У клітинках, відповідних інтерпретаціям, на яких функція дорівнює одиниці, записують одиниці. Ці клітинки відповідають конституентам одиниці, що присутні у ДДНФ функції. В інші клітинки записують нулі.

При вивченні теми необхідно ознайомитися з матеріалом підручників [1, c. 155-182; 2, c. 155-182; 3, 50-55; 9, c. 56-59; 12, c. 69-95; 17, c. 23-63].