ii

Министерство связи Украины

Украинская Государственная академия связи им. А. С. Попова.

Басов В. Е.

Методическое руководство к лабораторным занятиям по курсу Защита информации

Одесса 2002 г

Содержание

1. Симметричный шифр ГОСТ 28147-89 5

1.1 Цель работы 5

1.2 Домашнее задание 5

1.3 Ключевые вопросы 5

1.4 Содержание протокола 5

1.5 Лабораторное задание 5

1.6 Ключевые положения 6

2. Исследование работы двухключевых алгоритмов шифрования на примере RSA 11

2.1 Цель работы 11

2.2 Домашнее задание 11

2.3 Ключевые вопросы 11

2.4 Содержание протокола 12

2.5 Лабораторное задание 12

2.6 Ключевые положения 12

3. Исследование работы двухключевых алгоритмов шифрования на примере криптосистемы Эль-Гамаля 20

3.1 Цель работы 20

3.2 Домашнее задание 20

3.3 Ключевые вопросы 20

3.4 Содержание протокола 21

3.5 Лабораторное задание 21

3.6 Ключевые положения 21

4. Исследование цифровой подписи на примере алгоритма RSA 23

4.1 Цель работы 23

4.2 Домашнее задание 23

4.3 Ключевые вопросы 23

4.4 Содержание протокола 24

4.5 Лабораторное задание 24

4.6 Ключевые положения 24

5. Исследование создания сеансовых ключей на основе алгоритма Диффи-Хеллмана 29

5.1 Цель работы 29

5.2 Домашнее задание 29

5.3 Ключевые вопросы 29

5.4 Содержание протокола 29

5.5 Лабораторное задание 30

5.6 Ключевые положения 30

6. Приложения 34

6.1 Первая 1000 простых чисел 34

Введение Вычисления над кольцами и в простых полях

Алгебраические системы - это системы, которые подчиняются определённым правилам или законам. В большей части это те же законы, которые приложимы к обычным числовым системам. Так группа - система в которой заданы одна основная операция и операция ей обратная, например сложение и вычитание или умножение и деление. В кольце определены две основные операции. Сложение и умножение и операция обратная первой (вычитание). В поле определены две основные операции и две обратные операции.

Алгебраическая группа

Группой называется совокупность объектов или элементов, для которых определена некоторая операция и выполняются аксиомы G1-G4. Операцию обычно называют сложением или умножением, даже если она не является арифметическим сложением или умножением

G1 (замкнутость) Операция может быть применена к любым двум элементам группы, в результате получается третий элемент группы.

G2 (ассоциативный закон) Для любых трёх элементов a, b, c группы (a+b)+c = a+(b+c) для сложения или (ab)c=a(bc) для умножения.

G3 Существует единичный элемент. Для сложения a+0=a или для умножения a´1=a

G4 Каждый элемент группы имеет обратный

Если кроме аксиом G1-G4 выполняются условие коммутативности или a+b=b+a то группу называют коммутативной или абелевой.

Алгебраическое кольцо

Кольцом R называется множество элементов над которым определены две операции. Одна называется сложением, а вторая умножением, даже если эти операции не являются обычным арифметическим сложением и умножением чисел. Для того чтобы множество R было кольцом должны выполняться следующие аксиомы:

R1 Множество R является абелевой группой относительно операции сложения

R2(замкнутость) Для любых двух элементов a и b из множества R определено произведение ab, которое является элементом R

R3(ассоциативный закон) Для любых трёх элементов a, b, с из множества R выполняется a(bc)=(ab)c

R4(дистрибутивный закон) Для любых трёх элементов a, b, с из множества R выполняется a(b+c)=ab+ac и (b+c)a=ba+ca.

Кольцо называется коммутативным, если коммутативна операция умножения, т. е. если для любых двух элементов a и b из множества R ab=ba

Поле Галуа

Полем называется коммутативное кольцо с единичным элементом относительно умножения в котором каждый не нулевой элемент имеет обратный элемент по умножению.

Поля в которых определена операция сложения и умножения по модулю простого числа называются простыми полями. Для другого количества элементов поля существуют не всегда.

Особенности вычислений в простых полях Галуа

Сложение

В результате вычислений искомый результат находится в пределах 0£d<c.

Если (a+b)³c, то d приравнивается к остатку от целочисленного деления суммы (a+b) на c

Например:

1+1 mod 2 = 0;

3+5 mod 7 = 1;

4+4 mod 5 = 3.

Вычитание

В результате вычислений искомый результат находится в пределах 0£d<c.

Если (a-b)<0, то к разности прибавляется c приравнивается к остатку от целочисленного деления суммы (a+b) на c

Например:

2–1 mod 3 = 1;

3–5 mod 7 = 5;

4–4 mod 5 = 0.

Умножение

В результате вычислений искомый результат находится в пределах 0£d<c.

Если (a´b)³c, то d приравнивается к остатку от целочисленного деления произведения (a´b) на c

Например:

1´1 mod 2 = 1;

3´5 mod 7 = 1;

4´4 mod 8 = 0.

Деление

Операция деления определена как операция обратная умножению и существует только в полях Галуа

В результате вычислений искомый результат находится в пределах 0£d<c.

Конструктивного алгоритма вычисления частного в простом поле не существует, поэтому деление выполняется методом перебора так:

В качестве первого множителя фиксируется число a;

Цикл по d = от 0 до (C-1)

Выполняется умножение в поле ;

Если произведение равно b то результат найден

Конец цикла.

Возведение в степень

В результате вычислений искомый результат находится в пределах 0£d<c.

Если (a^b)³c, то d приравнивается к остатку от целочисленного деления результата (a^b) на c

Например:

2⁴ mod 7 = 2;

4³ mod 11 = 9;

5⁴ mod 9 = 4.

При возведении в степень область значений степенной функции в поле Галуа или над кольцом может быть меньше, чем область значений аргументов степенной функции

Извлечение дискретного логарифма

Операция дискретного логарифмирования определена как операция обратная возведению в степень. Найти обозначает найти такое число d, что при возведении a в эту степень получим число b.

В результате вычислений искомый результат находится в пределах 0£d<c.

Конструктивного алгоритма вычисления логарифма в простом поле не существует, поэтому логарифмирование выполняется методом перебора так:

В качестве основания логарифма фиксируется число a;

Цикл по d = от 0 до (C-1)

Выполняется возведение в степень¹ ;

Если показательная функция равна b то результат найден

Конец цикла.

Следует отметить, что дискретный логарифм существует не всегда. Так например:

log₄9 mod 11 = 3;

log₄8 mod 11 – не существует потому что 4 в любой степени (от 0 до 10 по модулю 11) никогда не равно 8.