2.4. Задачи для самостоятельной работы
2.1. Определить, совместна или нет система линейных уравнений, рассчитав ранги основной и расширенной матриц:
а)
б)
в)
г)
г)
г)
2.2. Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы и по формулам Крамера:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
2.3. Решить систему линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
и)
2.4. Решить методом Жордана–Гаусса систему линейных уравнений:
а)
б)
в)
г)
2.5. Решить систему линейных уравнений:
а)
б)
2.6. Найти базисное решение системы линейных уравнений:
а)
б)
в)
2.7.
В зависимости
от значения параметра
найти общее решение системы линейных
уравнений
2.5. Ответы к задачам и указания к их решению
2.1.
а) т.к.
,
то система совместна и имеет единственное
решение; б) т.к.
,
то система совместна и имеет бесконечное
множество решений; в) т.к.
,
то система несовместна, т.е. не имеет
решений; г) т.к.
,
то система совместна и имеет бесконечное
множество решений; д) т.к.
,
то система несовместна, т.е. не имеет
решений; е) т.к.
,
то система совместна и имеет единственное
решение.
2.2.
а)
,
,
;
б) система имеет бесконечное множество
решений; в) система не имеет решений; г)
,
,
;
д)
,
,
;
е) система имеет бесконечное множество
решений.
2.3.
а)
,
,
;
б)
,
,
;
в)
,
,
,
;
г)
,
,
;
д)
,
,
,
;
е)
,
,
,
;
ж)
,
,
,
;
з) Ø;
и)
,
,
.
2.4.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
2.5.
а)
,
,
,
;
б)
,
,
.
2.6.
а)
,
,
;
б)
,
,
,
;
в)
,
,
,
.
2.7.
Если
,
,
то система имеет единственное решение
;
если
,
то система имеет бесконечное количество
решений; если
,
то система решений не имеет.
1
Если
(
),
то столбцы (строки) с номерами
,
,
…,
(
,
,
…,
)
отсутствуют в матрице
,
при транспонировании на их месте
размещают строки (столбцы) с такими же
номерами.
2
Отметим, что если матрица
согласована с матрицей
,
то из этого не следует, что матрица
согласована с матрицей
,
а значит из того, что можно умножить
не следует, что можно умножить
.
3 Это теорема аннулирования.
** Это теорема замещения.
4
Поскольку уравнения в системе можно
менять местами, то без нарушения общности
можно считать
.
5 Поскольку уравнения в системе можно менять местами, то без нарушения общности можно считать . Лучше всего, когда этот коэффициент равен единице.
** Строка и столбец матрицы (2.12), содержащие этот элемент, называются разрешающими.