1.7. Задачи для самостоятельной работы

1.1. Найти сумму и разность матриц

и .

1.2. Найти произведение матрицы на число .

1.3. Зная, что и , найти матрицы и .

1.4. Зная, что и , найти матрицы и .

1.5. Найти произведение матриц:

а) и ; б) и .

1.6. Найти: а) ; б) ; в) ; г) ,

если , ; ; .

1.7. Вычислить определители второго порядка:

а) ; б) ; в) .

1.8. Вычислить определители третьего порядка:

а) ; б) .

1.9. Найти алгебраические дополнения элементов:

а) , , и определителя ;

б) , и определителя .

1.10. Используя правило вычисления определителя –го порядка, вычислить определители:

а) ; б) ; в) .

1.11. Вычислить определители, используя их свойства:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) .

1.12. Вычислить определители, приведя их к треугольному виду:

а) ; б) ; в) .

1.13. Найти матрицу обратную к матрице:

а) ; б) .

1.14. Найти ранг матрицы:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

1.15. Вычислить определители:

а) ; б) .

1.16. Проверить матрицу на невырожденность.

1.17. При каких значениях матрица не имеет обратной?

1.18. Найти матрицу , удовлетворяющую соотношению:

а) ; б) .

1.8. Ответы к задачам и указания к их решению

1.1. и .

1.2. . 1.3. и .

1.4. и . 1.5. а) ; б) . 1.6. а) ; б) ;

в) ; г) . 1.7. а) 0;

б) –5; в) 10. 1.8.а) –13; б) 10. 1.9. а) , , , ; б) , , . 1.10. а) ; б) ; в) . 1.11. а) 0; б) 0; в) 3; г) 22; д) 0; е); 27; ж) –26. 1.12. а) –6; б) –2;

в) –108. 1.13. а) ; б) .

1.14. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) . 1.15. а) ; б) . 1.16. Невырождена. 1.17. , . 1.18. а) ; б) .

2.Системы линейных уравнений

2.1. Основные понятия и определения

Системой линейных уравнений с неизвестными (или линейной системой) называется система уравнений вида

(2.1)

где числа ( ; ) называются коэффициентами при неизвестных ; первый индекс обозначает номер уравнения, а второй – номер неизвестной, при которой он находится. Так, – коэффициент, находящийся во втором уравнении при неизвестной .

Числа ( ) в (2.1) называются свободными членами. Линейная система называется неоднородной, если среди свободных членов есть хотя бы один отличный от нуля член. Если все свободные члены равны нулю, то линейная система называется однородной. Однородная линейная система имеет вид

(2.2)

Линейную систему (2.1) можно представить в матричной форме

, (2.3)

где – основная матрица системы, составленная из коэффициентов при неизвестных; – матрица-столбец неизвестных (перемножив матрицы и по общим правилам легко получить левую часть системы (2.1)); – матрица-столбец свободных членов. Если к основной матрице системы добавить столбец свободных членов, то получим расширенную матрицу системы в виде: .

Решением линейной системы (2.1) называется упорядоченная совокупность чисел , для которых при каждое из уравнений в (2.1) обращается в тождество.

Линейная система (2.1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений. Однородная система (2.2) всегда совместна, так как она имеет нулевое решение .

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если имеет более одного решения.

На вопрос «о разрешимости линейной системы (2.1)» можно ответить, не решая систему, применив теорему Кронекера-Капелли, которую приведем здесь без доказательства.

Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы , т.е. .

Для совместных линейных систем верны также утверждения:

1. Если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных, т.е. , то система (2.1) имеет единственное решение.

2. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, т.е. , то система (2.1) неопределенная и имеет бесконечное множество решений.

3. Система линейных однородных уравнений (2.2) имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы меньше числа неизвестных ( ).

4. Система линейных однородных уравнений (2.2) имеет только нулевое решение, когда ранг ее матрицы равен числу неизвестных, т.е. или .

Нахождение решения линейной системы (2.1) предполагает её преобразование, т.е. замену исходной системы преобразованной. При этом две системы называются эквивалентными (или равносильными), если они имеют одно и то же множество решений. Так, любые две несовместные системы считаются эквивалентными.

Рассмотрим основные элементарные преобразования линейной системы, при которых получаем систему, эквивалентную данной. Элементарными преобразованиями линейной системы называются следующие преобразования:

1. Умножение одного из уравнений системы на число , отличное от нуля. Так, например, умножим – ое уравнение системы (2.1) на и получим

Очевидно то, что, если – решение первой системы, то оно будет и решением второй системы. Преобразованное – ое уравнение при также превращается в тождество. Эти системы эквивалентны.

2. Прибавление к одному из уравнений системы другого ее уравнения, умноженного на любое число. Так, например, к – ому уравнению прибавим первое уравнение, умноженное на число :

где и .

Очевидно то, что, если – решение первой системы, то оно будет и решением второй и третьей системы. Преобразованное – ое уравнение при также превращается в тождество. Эти системы эквивалентны.

3. Перестановка местами двух любых уравнений системы. Действительно, если – решение исходной системы, то оно будет и решением преобразованной системы. Таким образом, эти системы эквивалентны.

Если к линейной системе (2.1) несколько раз, в любой последовательности, применить указанные элементарные преобразования, то новая система всегда будет эквивалентна исходной системе.

○ Пример 2.1. Определить, совместна или нет система линейных уравнений, рассчитав ранги основной и расширенной матриц:

а) б) в)

г)

Решение. а) Преобразуем матрицу и найдем ее ранг

.

Вначале элементы третьей строки умножим последовательно на , и сложим с элементами соответственно второй и первой строки. Затем элементы второй строки умножим на и сложим с элементами первой. Получим треугольную матрицу.

Так как , то ранг . Ранг матрицы равен числу переменных в системе уравнений.

.

Так как и среди миноров третьего порядка есть не равный нулю, т.е. , то .

Поскольку , то линейная система совместна и имеет единственное решение.

б) Преобразуем матрицу и найдем ее ранг

.

Ранг этой матрицы , так как максимальный порядок минора отличного от нуля равен двум: .

.

Так как и среди миноров третьего порядка есть не равный нулю: , то .

Поскольку , то линейная система несовместна, т.е. не имеет решений.

в) Как и в примере б) и ранг этой матрицы .

.

Ранг этой матрицы , так как максимальный порядок минора отличного от нуля равен двум: .

Линейная система совместна и имеет бесконечное множество решений, так как и ранг матрицы меньше числа переменных в системе, т.е. .

г) Преобразуем матрицу и найдем ее ранг:

.

Так как , то ранг . Ранг матрицы равен числу переменных в линейной системе и меньше числа уравнений.

Преобразуем матрицу и найдем ее ранг:

.

Так как , то ранг .

Так как , то линейная система несовместна. Действительно, после преобразований матрицы четвертое уравнение системы имеет нулевые коэффициенты при неизвестных и отличную от нуля правую часть. ●