1.5. Обратная матрица
Квадратная
матрица
называется невырожденной
(или несобственной),
если ее определитель отличен от нуля,
,
и вырожденной
(или собственной),
если
.
Найдем
алгебраические дополнения
элементов
матрицы
и построим матрицу
,
составленную из алгебраических
дополнений:
Матрицей,
присоединенной
к матрице
,
называется транспонированная матрица
алгебраических дополнений, т.е.
:
.
Матрица
называется обратной
по отношению к квадратной матрице
,
если при умножении этой матрицы на
как справа, так и слева, получается
единичная матрица, т.е.
.
Только для невырожденной квадратной матрицы существует обратная матрица и при том только одна. Обратная и исходная матрицы и имеют одинаковый порядок.
Для невырожденной квадратной матрицы обратная матрица определяется по формуле
,
(1.18)
где - матрица, присоединенная к матрице ; .
Покажем,
что матрица, определяемая по формуле
(1.18), является обратной к
.
Так как
– невырожденная матрица, то
.
Покажем, что
.
Согласно определению произведения
матриц (1.11), правилу вычисления определителя
–
го порядка (1.15), свойству 10 и правилу
умножения матрицы на число (1.3) получим,
что:
.
Аналогично
можно показать, что
.
Алгоритм вычисления обратной матрицы:
1. Находим . Если , то обратная матрица существует.
2. Находим алгебраические дополнения элементов матрицы .
3. Строим присоединенную матрицу .
4. Вычисляем по формуле (1.18) обратную матрицу.
5. Проверяем правильность вычисления обратной матрицы: .
Для
невырожденных квадратных матриц
и
одинакового порядка выполняются
следующие свойства:
1.
;
2.
;
3.
.
○ Пример 1.11. Найти матрицу обратную к матрице
.
Решение. 1) Вычислим определитель:
.
Так
как
,
то можно построить обратную матрицу.
2) Найдем алгебраические дополнения:
;
;
;
;
;
;
;
;
.
3)
Построим присоединенную матрицу:
.
4) Построим обратную матрицу по формуле (1.18):
.
5)
Проверка:
.
●
1.6. Ранг матрицы
В
матрице
размером
можно вычеркиванием строк (или столбцов)
вычленить квадратные матрицы порядка
.
Определители таких подматриц называются
минорами
–го
порядка матрицы
.
Например,
если дана матрица
,
то миноры первого порядка этой матрицы
– любой элемент матрицы (2, 1, 3, и т.д.);
миноры второго порядка –
(т.е определитель матрицы составленный
из элементов первой, второй строки и
первого, второго столбца),
(т.е определитель матрицы составленный
из элементов второй, третьей строки и
второго, четвертого столбца) и т.д.;
миноры третьего порядка –
(т.е определитель матрицы составленный
из элементов первой, второй, третьей
строки и первого, второго, пятого столбца)
и т.д.
Так как у исходной матрицы три строки, то нельзя построить минор порядка больше третьего. Некоторые из миноров могут оказаться равными нулю.
Рангом
матрицы
называется наибольший из порядков ее
миноров, отличных от нуля. Ранг матрицы
обозначают буквой
(или
,
или
).
Очевидно, что
,
где
- количество строк матрицы, а
– количество столбцов.
Если все миноры матрицы равны нулю, то ее ранг равен нулю. Ранг матрицы равен нулю тогда, когда все её элементы равны нулю (нулевая матрица).
Справедливо
следующее утверждение: для
квадратной матрицы
–го
порядка
тогда и только тогда, когда матрица
– невырожденная.
Ранг матрицы может быть найден по схеме:
– если
все элементы матрицы (миноры первого
порядка) равны нулю, то
;
– если
хотя бы один из миноров первого порядка
отличен от нуля, то находят миноры
второго порядка. Если все миноры второго
порядка равны нулю, то
;
– если
хотя бы один из миноров второго порядка
отличен от нуля, то находят миноры
третьего порядка. Если все миноры
третьего порядка равны нулю, то
;
и
т.д. до тех пор, пока не обнаружится одно
из двух: либо все миноры порядка
равны нулю, либо миноры порядка
не существуют, тогда
.
При рассмотрении матриц большого размера нахождение ранга матрицы по такой схеме может оказаться очень громоздким, так как приходится вычислять большое количество определителей. Поэтому рекомендуется вначале подвергнуть матрицу элементарным преобразованиям, с помощью которых ее можно привести к треугольной (или квазитреугольной) форме. Тогда ранг матрицы определяется количеством ненулевых диагональных элементов.
Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования:
1. Отбрасывание нулевой строки (или столбца).
2. Умножение всех элементов какого-либо ряда матрицы на число отличное от нуля.
3. Перестановка местами двух параллельных рядов матрицы.
4. Прибавление к каждому элементу одного ряда соответствующих элементов другого параллельного ряда, умноженных на любое отличное от нуля число.
5. Транспонирование матрицы.
Можно доказать, что ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях. Это следует из определения ранга матрицы и свойств определителей.
○ Пример 1.12. Найти ранг матриц:
а)
;
б)
;
в)
.
Решение. а) Применим элементарные преобразования и получим
.
Вторая
матрица получена из первой путем
поочередного умножения элементов первой
строки на (–1), (–3), (–4) и последующего
прибавления их к соответствующим
элементам второй, третьей и четвертой
строки. Третья матрица получена из
второй переменой мест второй и четвертой
строки (так, чтобы был
).
Четвертая матрица получена из третьей
путем поочередного умножения элементов
второй строки на 1, (–3) и последующего
прибавления их к соответствующим
элементам третьей и четвертой строки.
Пятая матрица получена из четвертой
путем умножения элементов третьей
строки на 6 и прибавления их к соответствующим
элементам четвертой строки.
Получена треугольная матрица. Так как
,
то ее ранг (а значит и ранг исходной
матрицы)
.
Замечание: Число ненулевых диагональных элементов матрицы треугольного вида равно величине ранга этой матрицы.
б) Применим элементарные преобразования и получим
.
Вторая матрица получена из первой путем поочередного умножения элементов первой строки на (–1), (–2), (–1) и последующего прибавления их к соответствующим элементам второй, третьей и четвертой строки. Третья матрица получена из второй отбрасыванием нулевой строки. Четвертая матрица получена из третьей путем умножения элементов второй строки на (–2) и прибавления их к элементам третьей строки.
Мы
привели матрицу к квазитреугольной
форме. Её ранг, как и ранг исходной
матрицы
.
Так как
и
(
),
то вычеркивая 4, 5 и 6- ой столбцы получим
треугольную матрицу третьего порядка
(с ненулевыми диагональными элементами),
которой соответствует отличный от нуля
минор третьего порядка, т.е.
.
в) Применим элементарные преобразования и получим
.
Так
как
и
(
),
то вычеркивая 5 и 6– ой столбцы получим
треугольную матрицу четвертого порядка
(с ненулевыми диагональными элементами),
которой соответствует отличный от нуля
минор четвертого порядка, т.е.
.
●