1.4. Свойства определителей

Из определений (1.12) – (1.13) и теоремы (1.15) – (1.16) следуют основные свойства определителей, которые мы докажем для определителей третьего порядка.

1. Определитель – го порядка не изменяется при замене всех его строк столбцами с теми же номерами.

Покажем, что определители транспонированной и исходной матриц равны. Разложим определитель транспортированной матрицы по элементам первого столбца:

.

Таким образом, этот определитель равен определителю (1.13).

2. Знак определителя – го порядка изменяется на противоположный, если поменять местами два его ряда (две строки или два столбца).

Действительно, в определителе третьего порядка поменяем местами первый и второй столбцы и вычислим его, разложив по элементам первой строки:

,

так как алгебраическая сумма в скобках равна правой части формулы (1.13).

3. Определитель – го порядка, у которого два параллельных ряда (две строки или два столбца) совпадают, равен нулю.

Действительно, рассмотрим определитель третьего порядка, у которого равны первая и вторая строки и вычислим его, разложив по элементам первой строки:

.

4. Общий множитель всех элементов данной строки (или столбца) можно вынести за знак определителя. Так, например,

.

Действительно, для определителя третьего порядка:

.

5. Чтобы умножить определитель – го порядка на число, достаточно все элементы его любой строки (или столбца) умножить на это число. Например,

.

Это свойство доказывается, как и предыдущее.

6. Определитель – го порядка равен нулю, если все элементы некоторого ряда равны нулю.

Действительно, достаточно при вычислении определителя разложить его по элементам нулевой строке (или столбцу) по формулам (1.15) – (1.16).

7. Определитель – го порядка равен нулю, если он содержит пропорциональные ряды.

Действительно, выделяя общий множитель (коэффициент пропорциональности) элементов в пропорциональных рядах и вынося его за знак определителя, получаем определитель с двумя одинаковыми строками (или столбцами), который равен нулю (см. свойство 3).

8. Если элементы какого-либо ряда определителя – го порядка можно представить в виде суммы двух слагаемых, то этот определитель равен сумме двух определителей. Так, например,

.

Действительно, по формуле (1.16) находим

.

Из этого свойства и свойства 7 следует утверждение: Определитель – го порядка равен нулю, если элементы какого-либо ряда можно представить в виде линейной комбинации элементов нескольких параллельных ему рядов. Так, например, если элементы – ой строки определителя можно представить в виде линейной комбинации элементов – ой и – ой строки: , где и – определенные числа и , то определитель равен нулю.

9. Определитель – го порядка не изменится, если к элементам некоторого ряда прибавить соответственные элементы параллельного ряда умноженного на одно и тоже число.

Пусть, например, к элементам первого столбца определителя третьего порядка прибавлены соответственные элементы второго столбца, умноженные на . Тогда применяя свойства 8, 4 и 3 и получим

.

10. Сумма парных произведений элементов какого-нибудь ряда определителя – го порядка на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.³

Покажем, например, что для определителя (1.13) имеет место равенство: . Действительно,

.

11. Сумма парных произведений произвольных чисел соответственно на алгебраические дополнения элементов некоторого ряда квадратной матрицы порядка равна определителю матрицы, полученной из данной заменой элементов этого ряда числами .^**

Так, например, для определителя

имеем .

12. Определитель произведения двух квадратных матриц одного порядка равен произведению определителей перемножаемых матриц. Если и , то .

Свойства 1-12 применяют при вычислении определителей. Так если в определителе есть нулевые ряды (свойство 6), равные (свойство 3), пропорциональные ряды (свойство 7) или элементы какого-либо ряда можно представить в виде линейной комбинации элементов нескольких параллельных ему рядов (следствие из свойства 8), то определитель равен нулю. Свойства 2, 4, 5 и 9 используют для приведения определителя к виду, при котором в строке (или столбце), по элементам которого раскладывается определитель по формулам (1.15) – (1.16), было как можно больше нулей. Это значительно упрощает расчеты.

○ Пример 1.9. Вычислить определители, используя их свойства:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) .

Решение. а) , так как элементы второго и третьего столбца пропорциональны с коэффициентом 2 (свойство 7).

б) , так как линейная комбинация элементов первого и второго столбцов дает элементы четвертого столбца (следствие из свойства 8):

.

в) – элементы первой строки определителя последовательно умножим на (–2), (–1), (–3) и сложим соответственно с элементами второй, третьей и четвертой строки (свойство 9). Получим: ;

– разложим полученную матрицу по элементам первого столбца по формуле (1.16): ;

– элементы первой строки определителя последовательно умножим на (–2), 1 и сложим соответственно с элементами второй и третьей строки (свойство 9); разложим полученный определитель по элементам первого столбца и т.д.

.

г)

.

Вначале элементы первого столбца определителя последовательно умножим на (–2), (–1), (–2) и сложим соответственно с элементами второго, третьего и четвертого столбца. Затем разлагаем определитель по элементам первой строки по формуле (1.15). В полученном определителе третьего порядка умножим элементы второго столбца последовательно на (–3), (–2) и сложим соответственно с элементами первого и третьего столбца. Дальше разлагаем определитель по элементам первой строки. При преобразовании мы за знак определителя из первой и второй строки вынесли общий множитель (–1) (свойство 4);

д)

.

Выносим за знак определителя общие множители 2,3 и 4 для элементов соответственно первой, второй и третьей строки (свойство 4). Дальше выполняем преобразования определителя, используя свойство 9, аналогичные проведенным в пунктах в) и г). ●

Если определитель – го порядка

привести к треугольному виду, используя свойства 2, 4, 5 и 9, то определитель равен произведению диагональных элементов:

○ Пример 1.10. Вычислить определитель , приведя его к треугольному виду.

Решение. Применим свойства 9 и 2 к преобразованию определителя:

●