МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ЭКОНОМИКИ И ТОРГОВЛИ

имени Михаила Туган-Барановского

Кафедра высшей и прикладной математики

Н.М. Лавриненко, С.Н. Латынин

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

(линейная алгебра)

Лекции

для студентов дневной и заочной форм обучения

Донецк 2008

Содержание

1. ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

2.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

1.1. Матрицы. Основные определения

Матрицей называется совокупность чисел (где и ), расположенных в виде прямоугольной таблицы, состоящей из строк и столбцов: .

Числа этой таблицы называются элементами матрицы, в которых первый индекс обозначает номер строки, а второй – номер столбца. Так, – элемент, принадлежащий ой строке и ому столбцу. Например, – элемент, находящийся на пересечении первой строки и шестого столбца, а – элемент, находящийся на пересечении второй строки и четвертого столбца.

Строки и столбцы матрицы называют ее рядами; под двумя параллельными рядами понимают две строки или два столбца матрицы. Если матрица содержит строк и столбцов, тогда говорят, что матрица имеет размерность . Часто применяют и другие, более краткие, обозначения матриц (или , где и ) или обозначение одной заглавной буквой , т.е.

. (1.1)

Так, например, – матрица размерности . Здесь и , а элементы первой строки – , , . – матрица размерности . Здесь и , а элементы третьего столбца – , , , .

Матрица, состоящая лишь из одной строки, называется матрицей-строкой: . Матрица, состоящая лишь из одного столбца, называется матрицей-столбцом: .

Две матрицы и называются равными, если они имеют одинаковую размерность (число их строк и столбцов равны), а также равны их соответствующие элементы, т.е. при любых и .

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей. Ее обозначают заглавной буквой О, т.е.

. (1.2)

Матрица, полученная из данной матрицы заменой ее строк столбцами с теми же номерами, называется транспонированной. Транспонированную матрицу обозначают символом . Если матрица имеет размерность , то транспонированная к ней матрица имеет размерность . Операция нахождения матрицы, транспонированной к данной, называется транспонированием матрицы.

Если исходная матрица , то транспонированная к ней – ¹. Например, если , то ; и ; и .

Квадратной матрицей называется матрица, у которой число строк равно числу столбцов ( ), т.е. матрица вида

. (1.3)

Элементы квадратной матрицы образуют главную диагональ матрицы, а элементы – побочную диагональ матрицы.

Порядком квадратной матрицы называется число ее строк (или столбцов). Например, – квадратная матрица первого порядка; – квадратная матрица второго порядка; – квадратная матрица третьего порядка и т.д.

Квадратная матрица называется симметрической, если , т.е. равны ее элементы, симметричные относительно главной диагонали. Например, симметрическими являются матрицы:

, , .

Диагональной матрицей называется квадратная матрица, у которой все элементы, не принадлежащие главной диагонали, равны нулю, т.е. матрица вида

. (1.4)

Например, , , .

Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице, т.е. матрица

. (1.5)

Например, , , .

Треугольной матрицей называется квадратная матрица, все элементы которой, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю. Различают матрицы треугольные сверху

(1.6)

и треугольные снизу –

. (1.7)

Например, , , – треугольные снизу матрицы; , , – треугольные сверху матрицы.

Матрицы произвольных размеров ( )

,

, ,

где ( ) и при , а , называются квазитреугольными (ступенчатыми или трапецевидными) матрицами.

1.2. Действия над матрицами

Над матрицами можно производить действия: складывать, вычитать, перемножать матрицы и умножать их на число. Рассмотрим правила, по которым выполняют эти действия, и их свойства.

1.2.1. Сложение (вычитание) матриц и умножение их на число

Матрицы одинакового размера можно складывать и вычитать. Так, суммой двух матриц и называется матрица такой же размерности , элементами которой являются суммы соответствующих элементов матриц и , т.е.

, (1.8)

где и .

Сумма двух матриц и обозначается . Под суммой трех матриц понимается матрица, полученная в результате последовательного сложения этих матриц по общим правилам (1.8), т.е. . Аналогично определяется сумма для любого количества матриц.

Разностью двух матриц и называется матрица такой же размерности , элементами которой являются разности соответствующих элементов матриц и , т.е.

. (1.9)

где и .

○ Пример 1.1. Найти сумму и разность матриц

и .

Решение. ;

. ●

Линейными действиями над матрицами являются не только их сложение и вычитание, но также умножение матриц на число. Произведением матрицы на число называется матрица , каждый элемент которой равен соответствующему элементу матрицы , умноженному на число , т.е.

, (1.10)

где и . Произведение матрицы на число обозначается или . Отметим, что .

○ Пример 1.2. Найти произведение матрицы на число .

Решение. . ●

Рассмотрим основные свойства операций сложения (вычитания) матриц и умножения их на число:

1. ;	6. ;
2. ;	7. ;
3. ;	8. ;
4. ;	9. ;
5. ;	10. ,

где – нулевая матрица; – любые матрицы одинаковой размерности; – любые действительные числа; матрицы и транспонированные к матрицам и , а – транспонированная к матрице .

1.2.2. Умножение матриц

Перемножить можно только согласованные матрицы. Матрица называется согласованной к матрице , если число столбцов матрицы равно числу строк матрицы . Так матрица согласована с матрицей и для них можно определить произведение .²

Произведением матрицы на матрицу называется такая матрица , для которой

, (1.11)

т.е. элемент матрицы равен сумме парных произведений элементов – ой строки матрицы на соответствующие элементы – го столбца матрицы . Произведение матрицы на матрицу обозначают .

В результате умножения матрицы на матрицу получаем матрицу , число строк в которой равна числу строк матрицы , а число столбцов матрицы равно числу столбцов матрицы , т.е. матрица имеет размерность . Если перемножаются квадратные матрицы и одинакового порядка, то – матрица такого же порядка.

○ Пример 1.3. Найти произведение матриц

и .

Решение. Так как у матрицы три столбца, а у матрицы три строки, то можно найти произведение :

. Таким образом, произведением будет матрица размерности .

Так как у матрицы пять столбцов, а у матрицы четыре строки, то нельзя найти произведение . ●

Квадратные матрицы одного порядка можно перемножать в любой последовательности или , но при этом произведение матриц зависит от порядка множителей, т.е. в общем случае, .

Например, для матриц и :

;

.

Таким образом, . Но уже для матриц и :

;

,

т.е. .

Если , то матрицы и называют перестановочными или коммутативными.

Рассмотрим основные свойства операции умножения матриц.

1. ;	2. ;
3. ;	4. ;
5. ;	6. ;
7. ;	8.

где – нулевая матрица; – единичная матрица; - согласованные матрицы по порядку их произведения; – любые действительные числа; матрицы и транспонированные к матрицам и , а – транспонированная к матрице .

○ Пример 1.4. Найти: а) ; б) , если ; ; ; .

Решение. а) ;

; ;

;

б)

;

.●