2. Гідродинамічна подібність

Найбільш узагальнюючим рівнянням, яке описує поведінку реальної рідини є диференційне рівняння Нав’є-Стокса, яке на відміну від диференційних рівнянь Ейлера для потоку ідеальної рідини враховує сили тертя між шарами рідини.

Розглянемо складову рівняння Нав’є-Стокса записане по напрямку Z

(1)

де

(2)

для наступних перетворень поділимо (2) на dτ

(3)

Тут в рівнянні (3) - складова ,яка характеризує рівнодіючу сили інерції

- рівнодіюча сили інерції після перетворення (l –характерний геометричний розмір);

-складова, що характеризує нестаціонарну складову сили інерції ;

- складова, яка характеризує впив сили ваги;

- складова, яка характеризує вплив сили тиску;

- складова, яка характеризує вплив сил тертя;

Згідно другої теореми подібності

- таким чином критерій Рейнольдса має такий фізичний зміст: це відношення сил інерції до сил тертя у потоці

- критерій Ейлера

- цей критерій є визначуваним і відображує вплив параметрів рідини на перепад тиску при її русі;

- критерій Фруда (відображує вплив сил ваги самої рідини при її русі)

- критерій гомохронності (враховує невстановлений характер руху у подібних потоках)

Критерії ще називають комплексами подібності (безрозмірні величини одержані комбінацією величин з різнорідними розмірностями).

З геометричної подібності витікає співвідношення , що є симплексом подібності (складене з однакових за розмірністю величин).

Критеріальне рівняння приймає такий вигляд

Найбільш часто критеріальному рівнянню надають вигляд степеневої залежності

Завдання дослідника полягає у визначенні констант .

Допоміжні критерії отримують комбінацією основних.

- критерій Галілея

- критерій Архімеда

- густина частинки; - густина рідини

- модифікований критерій Рейнольда в обертових рухах

- лінійна швидкість при обертовому русі ( - кутова швидкість [рад/c], де n-кількість обертів [об/хв])

3. Метод аналізу розмірностей

Метод базується на -теоремі Бекінгема: якщо явище описується за допомогою n-незалежних перемінних і m одиниць розмірності, то можна утворити критеріїв подібності.

Розглянемо відомий вже нам приклад визначення втрат тиску при русі рідини в трубі, але будемо вважати, що ми експериментально виявили впив на втрати тиску таких параметрів:

Тут (тобто слід очікувати при узагальненні 4 критерії)

,

(1 є показник ступеню при кг)

(-1 є показник ступеню при м)

(-2 є показник ступеню при с)

Оскільки є три рівняння і шість невідомих (x,y,z,n,m,l), тому три з них

, , виразимо через інші

Коли рух рідини відбувається в прямій горизонтальній трубі критерієм Фруда можна знехтувати і тоді

Під час узагальнення результатів експериментів одержано рівняння або . Після деяких перетворень

. Позначимо тоді

Таким чином, використовуючи узагальнення дослідних даних за допомогою методу аналізу розмінностей, ми одержали відоме нам рівняння Дарсі для турбулентного руху.