2N2n элементов, а во втором случае – нечетном косинусном преобразовании,

- массив (2N-1)x(2N-1) элементов

Вычисление двумерного преобразования Фурье при использовании наложения крайних элементов блока приводит к нечетному косинусному преобразованию, определяемому соотношениями:

Здесь значения связаны со значениями пикселей исходного изображения:

Обратное преобразование вычисляется аналогичным способом:

Базисные функции нечетного косинусного преобразования являются, как следует из приведенных выше соотношений, разделимыми, так что двумерное нечетное косинус­ное преобразование можно осуществлять с использованием одномерных операций, выполняемых последовательно.

Следует заметить, однако, что это преобразование уступает по эффективности чет­ному косинусному преобразованию, которое имеет весьма широкое применение.

Выполнение двумерного преобразования Фурье при построении четных функциональных соотношений пристраиваем к блоку изображения его зеркальных отражений приводит к четному косинусному преобразованию:

Обратное преобразование определяется соотношением:

Следует заметить, что базисные функции четного косинусного преобразования принадлежат к классу дискретных полиномов Чебышева.

На рис. 9.7 показаны трехмерные графики: блока изображения, аналогичного рис. 9.5, спектра его косинусного преобразования и ошибок восстановления пикселей исходного блока. В таблице 9.1 приведены результаты статических исследований использования рассмотренных выше унитарных преобразований для сжатия изображений.

Рис.9.7. Блок изображения 88 пикселей и его косинусное преобразование

Преобразование Хаара

Преобразование Хаара основывается на использовании ортогональной матрицы Хаа­ра.

Ниже приведены примеры ортогональных матриц Хаара четвертого и восьмого по­рядков. Преобразование Хаара можно рассматривать как процесс дискретизации ис­ходного сигнала, при котором с переходом к следующей строке вдвое уменьшается шаг дискретизации.

Матрицы Хаара

Хааровский спектр описывает распределение энергии компонент, соответствующих разностям яркостей соседних пикселей, разностям средних значений яркостей сосед­них пар пикселей и вообще разностям средних значений яркостей соседних групп из элементов.

На рис. 9.8 приведены псевдотрехмерные матрицы блока изображения с числом пикселей 8х8 (слева), хааровского спектра (с округлением коэффициентов) и ошибок восстановления значений пикселей исходного блока изображения (справа).

Рис. 9.8. Блок изображения 88 пикселей и его преобразование Хаара

Отметим, что в спектре Хаара наблюдается концентрация энергии в областях низких хааровских частот.

Преобразование Уолша – Адамара

Преобразование Уолша – Адамара можно рассматривать как дискретный аналог непрерывного преобразования по базису, составленному из функций Уолша.

Оно основано на квадратной матрице, элементы которой равны плюс или минус единице, а строки и столбцы образуют ортогональные векторы. Одна из ортогональных матриц Уолша – Адамара второго порядка N=2

.

Наиболее часто удается построить матрицы Уолша – Адамара, если они имеют порядок N=2ⁿ, где n – целое число.

Если H_N – матрица Уолша – Адамара N-ого порядка, то

строки матрицы H_2N можно рассматривать как последовательность отсчетов прямоугольных периодических колебаний (сигналов), период которых кратен 1/N.

Следовательно, матрица Уолша – Адамара описывает преобразование, связанное с разложением блоков изображений по семейству прямоугольных базисных функций, а не по синусам и косинусам, характерным для преобразований Фурье.

Обычно матрицу Уолша – Адамара упорядовачивают путем перестановок строк в порядке возрастания числа изменений знака.

Например, упорядоченная матрица 4-го порядка имеет вид:

число изменений знака

Для упорядоченной матрицы Адамара порядка N=2ⁿ двумерное преобразование можно представить в виде:

причем

g₀(u)=u_n-1;

g₁(u)=u_n-1 + u_n-2;

g₂(u)=u_n-2 + u_n-3;

…………………

g_n-1(u)=u₁ + u₀;

u_i, v_i, j_i, k_i – равны цифрам в двоичном представлении чисел u, v, j и k соответственно. Например, если

u=13=1*2⁰+0*2¹+1*2²+1*2³, то

u₀=1; u₁=0; u₂=1; u₃=1.

На рис. 9.9 приведены псевдотрехмерные матрицы блока изображения аналогичного рис 9.8, спектра Уолша – Адамара (с округлением коэффициентов) и ошибок восстановления значений пикселей исходного блока изображения.

Отметим, что, как и в преобразовании Хаара, здесь наблюдается концентрация энергии в областях низких частот. Эффективность использования преобразования Уолша – Адамара для сжатия изображений практически такая же, как эффективность примене­ния преобразования Хаара.

Рис.9.9. Блок изображения 88 пикселей и его преобразование Уолша – Адамара

Таблица 9.1.