7.1. Преобразование изображений – преобразование Хока

Метод преобразование Хока используется для выделения черт отдельной фигуры в изображении.

Классическое преобразование Хока в основном используется для обнаружения правильных кривых таких, как прямые, круги, эллипсы и так далее, для этого линии должны быть определены в некоторой параметрической форме.

Обобщенное преобразование Хока используется в задачах, в которых не возможно единственное (простое) аналитическое представление линий.

Преобразование Хока находит множество применений, например, обрабатываемые детали имеют характерные границы, которые могут быть описаны правильными кривыми или прямыми линиями.

Главное преимущество преобразования Хока заключается в том, что он обходит щели в представлениях границ и относительно не восприимчив к помехам в изображении.

Принцип действия

Метод Хока полезен для вычисления общих черт (когда количество классов решений заранее не известно), соблюдающих (возможно с некоторыми погрешностями) локальные размеры.

Метод Хока выделения линий основывается на том, что каждое поступающее измерение (например, точка в системе координат) вносит вклад в общее наиболее приемлемое решение (в линию, в которой учитывается доля влияния данной точки изображения).

В качестве простого примера возьмем общую проблему нахождения подходящих линий, соединяющих отдельные точки изображения (например, получаемых при определении границ). Ниже диаграмма показывает несколько возможных решений данной проблемы.

Рис. 7.1. a) Точки в системе координат,

b) и c) – возможное проведение прямых линий, соединяющих эти точки.

Существует множество вариантов представления фрагментов линий, однако, для описания множества линий наиболее подходит уравнение в параметрической (нормальной) форме:

x cos θ + y sin θ = r,

где r – это длина нормали к данной линии, опущенной из начала координат, а θ – угол, составляемый нормалью с осью абсцисс. Для каждой точки линии r и θ будут постоянными*.

Рис. 7.2. Параметрическое представление прямой линии.

При анализе изображения известны координаты точек фрагментов границ (x_i, y_i), которые могут служить в качестве постоянных в параметрическом уравнении линии, а r и θ являются неизвестными переменными, которые нужно найти. Если мы изобразим возможные значения (r, θ), определенные для каждой пары (x_i, y_i), то точки в декартовой системе координат изображения отобразятся в кривые (синусоиды) в полярной системе Хока**. Это преобразование точка-кривая является преобразованием Хока для прямых линий. Если рассмотреть область в системе координат Хока, то окажется, что точки изображения, соответствующие одной прямой в декартовой системе координат, станут отчетливо видны, так как они дают кривые, которые пересекаются в общей (r, θ) точке.

Преобразование осуществляется с использованием разделения области параметров Хока на конечные интервалы, называемые ячейками накапливания (которые можно представить в виде многомерного массива). В процессе выполнения алгоритма каждая пара (x_i, y_i) переводится в дискретную (состоящую из раздельных частей) кривую (r, θ), а ячейки накапливания, которые располагаются вдоль всей кривой соответствующим образом увеличиваются.

Максимумы в массиве накапливания дают достаточное условие существования соответствующей прямой линии в изображении.

Мы можем использовать ту же процедуру для обнаружения других линий, имеющих аналитическое представление. Например, круг имеет следующее параметрическое уравнение

(x – a)² + (y – b)² = r²,

где a и b – координаты центра круга, а r – радиус. В этом случае вычислительная сложность алгоритма значительно увеличивается, так как мы уже имеем три координаты в параметрическом пространстве и трехмерный массив накапливания. В основном вычислительная сложность и размер накапливающего массива увеличивается экспоненциально с ростом числа параметров. Таким образом, рассматриваемый основной метод Хока осуществим только для простых кривых.

Преобразование Хока может быть использовано для распознавания параметров кривой, которая наилучшим образом описывает множество точек контура.

Такое представление контура обычно достигается с использованием распознавания границ, например, с помощью отыскания нулей лапласиана. Изображение с контурами может также иметь некоторые помехи, выраженные, например, в размытости границ.

Выделение границ дает расположение контуров в изображении, а преобразование Хока определяет, что собой представляют эти границы (определяет черты для каждого своего параметрического представления) и как много их на изображении.

Для того чтобы подробно объяснить преобразование Хока, для начала рассмотрим простое изображение – два перекрывающихся прямоугольника.

Рис. 7.3.

Выделение контуров дает следующее представление границ.

Рис. 7.4.

На рисунке виден полный контур, но этот результат нам ничего не говорит о характере и количестве черт этого представления границ. В этом случае можно использовать преобразование Хока (определение линий) для выделения восьми различных фрагментов прямых этого изображения, следовательно, можно определить правильную геометрическую форму объекта.

Если преобразовать по Хоку точки границ, то получится кривая, построенная в пространстве (r, θ) для каждой точки в декартовой системе изображения. Массив накопления, представленный в виде картины интенсивности, будет выглядеть следующим образом.

Рис. 7.5.

Увеличение контрастности изображения позволяет увидеть оттенки информации, содержащиеся в пикселях с малым значением интенсивности.

Рис. 7.6.

Хотя r и θ представляются как полярные координаты, область накопления изображается как прямоугольная.

Кривые, в которые отображаются точки, соответствующие одной линии изображения, пересекаются в максимумах (r, θ). Эти точки пересечения характеризуют сегменты прямых линий исходного изображения.

Существуют методы, с помощью которых можно извлечь эти светлые пятна (локальные максимумы) из массива накоплений.

Например, один из методов включает использование порога и последующее прореживание изолированных скоплений светлых пятен массива накопления.

В данном случае используется относительный порог для выделения точек (r, θ), каждая из которых соответствует одной прямой линии границы исходного изображения соответствующей. Другими словами берутся только те локальные максимумы в массиве накопления, значения которых не меньше некоторой фиксированной доли глобального максимума.

Путем обратного отображения из пространства Хока в декартовую систему координат получается множество представлений линий объекта изображения. Совмещая исходное изображение с обработанным изображением, можно убедиться в том, что преобразование Хока правильно нашло 8 сторон двух прямоугольников.

Рис. 7.7.

Точность совмещения найденных линий и линий исходного изображения не достаточна и обусловлена величиной массива накопления.

Необходимо отметить, что линии, получаемые с помощью преобразования Хока, не ограничены по длине. Если нужно выделить фактические фрагменты линий, то для дальнейшего анализа изображения потребуется осуществить последовательный поиск частей этих бесконечно длинных линий, которые имеют точки пересечения.

Для того чтобы показать устойчивость к помехам метода Хока, в представление контура были добавлены помехи.

Рис. 7.8.

Результат, полученный преобразованием Хока.

Рис. 7.9.

Обратное преобразование Хока (результат был наложен на исходное изображение).

Рис. 7.10.

Как и в предыдущем случае относительный порог составил 40%.

Точность преобразования Хока даже в случае пропусков линий границ может быть показана обработкой следующего изображения.

Рис. 7.11.

Представление по Хоку.

Рис. 7.12.

Обратное преобразование по Хоку.

Рис. 7.13.

Из-за того что массив накопления не получил достаточно данных, как это было в предыдущих случаях, было найдено только 7 максимумов, но все они точно соответствуют границам.

Теперь рассмотрим несколько естественных изображений. Рассмотрим изображение города, где здания окутаны туманом.

Рис. 7.14.

Выделение контуров этих зданий не дает достаточное изображение.

Рис. 7.15.

Тем не менее, преобразование Хока может выделить некоторые прямые линии, из которых состоят контуры зданий, даже в скрытой области. Представление области накопления исходного изображения показано ниже.

Рис. 7.16.

Если установить относительный барьер на 70%, то получится следующее обратное отображение.

Рис. 7.17.

На этом изображении только некоторые контуры были зафиксированы. Многие линии и фрагменты контуров вблизи становятся коллинеарными, практически не различимыми из-за многочисленных повторений. Снижая относительный барьер до 50%, получаем уже следующий результат.

Рис. 7.18.

Полученный результат содержит большее число ожидаемых линий, но он получен с большими затратами на многочисленные ложные линии, появляющиеся от многих коллинеарных фрагментов контура.

Другой пример раскрывает возможность применения метода для удаленного восприятия. Задача заключается в выделении улиц в изображении городского квартала с прямоугольной планировкой.

Рис. 7.19.

Можно выделить контуры изображения.

Рис. 7.20.

Однако информация об улицах не извлекается с помощью только распознавания границ.

Рисунок 21.

Данное изображение показывает, что с помощью преобразования Хока возможно выделение части этой информации. Так как контрастность исходного изображения достаточно низкая, то только ограниченное количество черт, то есть улиц, было распознано.

Обобщенное преобразование Хока используется, когда фигура очертания, которую мы хотим выделить, не имеет единственное аналитическое уравнение, описывающее ее границы. В этом случае вместо использования параметрического уравнения кривой используется таблица для определения отношений между позициями границ и ориентациями параметров Хока.

Пусть дана фигура и известна ориентация нужной черты. Можно точно выделить произвольную точку (x_ref, y_ref) внутри контура, относительно которой фигура контура будет определена (длина вектора r с концом в выделенной точке и началом в точке контура, угол β между данным вектором и осью абсцисс, угол ω между касательной в данной точке и осью абсцисс). Таблица будет состоять из расстояний и пар направлений, соответствующих ориентации ω границы (касательной к точке).

Рис. 7.22. Представление таблицы компонентов

Преобразование Хока определяется с точки зрения возможных положений фигуры на изображении, то есть возможных изменений (x_ref, y_ref). Другими словами, преобразование может быть представлено следующим образом:

x_ref = x + r cos(β),

y_ref = y + r sin(β),

где значения r и β получаются из таблицы для частного значения ориентации ω. Если ориентация нужной черты не известна, эта процедура усложняется необходимостью расширения массива накапливания путем введения дополнительного параметра для вычисления изменений ориентации.

* –

,

,

, .

Если в качестве взять вектор, перпендикулярный прямой, то ,

.

** –

, , ,

, , , тогда .