Влияние размера выборки

Пусть количество элементарных коротких операций (+, -, …) для вычисления одного отклика равно N₁.

где k­₀ – некоторый коэффициент,

N_i – размер апертуры по x_i,

N_j – размер апертуры по y_j.

M_i M_j – размер изображения, тогда;

– общее количество операций;

Сокращение суммарного времени связано с выбором размеров и формы апертуры и характером ее движения. С точки зрения времени, чем меньше апертура, тем лучше.

– крестообразная апертура (также ведет к уменьшению времени)

Линейные оконные фильтры являются очень распространенными, Из соображений простоты обычно при­меняются окна малых размеров 3x3, сейчас все чаще используются апертуры 5 5, 7 7. Чем больше информации привлекаем, тем лучше должен быть результат (сильнее уничтожаются всякие выбросы на изображении).

Низкочастотные фильтры, весовые функции которых используются для сглаживания высокочастотного шума (царапин, точек и т. п.). Но при этом эти фильтры сглаживают, размывают границы контуров.

Рассмотрим некоторые фильтры, сглаживающие шум:

,

,

,

.

У фильтров H₁  H₄  нормирующие множители K подобраны таким образом, чтобы не происходило изменения средней яркости обработанного изображения. Наряду с масками 3х3 используются маски большей размерности, например, 5х5, 7х7 и т.п. В отличие от фильтра H₂, у фильтров H₁, H₃, H₄  весовые коэффициенты на пересечении главных диагоналей матрицы больше,  чем коэффициенты, стоящие на периферии. Фильтры H₁, H₃, H₄ дают более плавное изменение яркости по изображению, чем H₂.

Механизм подавления шума с использованием приведенных фильтров состоит в том, что при суммировании шумы компенсируют друг друга. Эта компенсация будет происходить тем успешнее, чем большее число членов в сумме, т.е. чем больше размер (апертура) маски. Пусть, например, используется маска NN, в пределах её полезное изображение имеет постоянную яркость, белым шум. Отношение квадрата яркости (i,j)–го пиксела к дисперсии шума, т. е. отношение сигнал/шум, равно  f ²/σ². Применение маски 3х3, в среднем, повышает отношение сигнала к шуму в 9 раз.

При импульсной помехе механизм подавления состоит в том, что импульс "расплывается" и становится мало заметным на общем фоне.

Однако часто в пределах апертуры значения полезного изображения все же изменяются заметным образом. Это бывает, в частности, когда в пределы маски попадают контуры. С физической точки зрения, все H₁  H₄  являются фильтрами нижних частот (усред­няющими фильтрами), подавляющими высокочастотные гармоники и шума, и полезного изображения. Это приводит не только к ослаблению шума, но и к размыванию контуров на изображении.

Линейные фильтры могут быть предназначены не для  подавления шума, а для подчеркивания перепадов яркости и контуров. Выделение вертикальных перепадов осуществляется дифференцированием по строкам, горизонтальных  по столбцам.

Для выделения  перепадов яркости определенной ориентации используются следующие наборы весовых множителей, реализующих двумерное дифференцирование. Эти фильтры называются по направлению (северные, северо-западные и т. д.):

«Север»	«Север-восток»	«Восток»	«Юго-восток»
«Юг»	«Юго-запад»	«Запад»	«Северо-запад»

Название географических направлений говорит о направлении склона перепада,  вызывающего максимальный отклик фильтра. Сумма весовых множителей масок равна нулю,  поэтому на участках изображения с постоянной яркостью эти фильтры дают нулевой отклик.

Если надо выделить горизонтальные линии или вертикальные, то используют следующие фильтры:

– выделяет горизонтальные линии,

– выделяет вертикальные линии.

Выделение горизонтального перепада можно выполнить также путем вычисления приращения разности яркостей пикселей вдоль строки, что равноценно вычислению второй производной по направлению (оператор Лапласа). Это отвечает одномерной маске Н = | 1 2 1|, сумма весовых множителей равна нулю. Таким же образом можно искать перепады по вертикали и по диагонали.  Для выделения перепадов без учета их ориентации используются двумерные операторы Лапласа:

, , .

Здесь сумма весовых множителей также равна нулю.

Операторы Лапласа  реагируют на перепады яркости в виде ступенчатого перепада и на "крышеобразный" перепад. Они также выделяет изолированные точки, тонкие линии, их концы и острые углы объектов. Линия подчеркивается в 2 раза ярче, чем ступенчатый перепад, конец линии в 3 раза, а точка  в 4 раза ярче. Оператор Лапласа не инвариантен к ориентации перепадов: например, отклик оператора на наклонный перепад в диагональном направлении почти вдвое больше, чем в горизонтальном и вертикальном.

С физической точки зрения, фильтры H₅  H₁₅ явля­ются фильтрами верхних частот, они выделяют высокочастотные составляющие полезного изображения, ответственные за перепады яркости и контуры и подавляют "постоянную составляющую". Однако при их использовании уровень шума на изображении возрастает.

Фильтры для выделения перепадов и границ, как и фильтры H₁  H₄  для подавления шума, могут быть рекурсивными.

Изображение с подчеркнутыми границами (контурами) субъективно воспринимается лучше, чем оригинал. Происходит фокусировка частично расфокусированного изображения. При использовании  оператора Лапласа для этих целей применяют три типовых набора весовых множителей:

, , .

H₁₆  H₁₈ отличаются от фильтров H₁₃  H₁₅ тем, что к центральному элементу матрицы прибавлена 1, т.е. при фильтрации исходное изображение накладывается на контур.

Для выделения контуров и перепадов яркости могут применяться нели­нейные фильтры. В нелинейных алгоритмах используют нелинейные операторы дискретного дифференцирования. В фильтре Робертса исполь­зуется перемещающаяся по изображению маска 22:

(где f_i - старое значение яркости  i-го пиксела, g_i - новое значение)

дифференцирования производится с помощью одного из выражений

В  фильтре Собела  используется окно 33:

Центральному  (i,j) -му  пикселу вместо f _i,j  присваивается значение яркости либо  , где

 

На рис.5.4. показаны результаты применения фильтра Собела.

Исходное изображение	Фильтр Собела
Рис. 5.4 . Применение фильтра Собела

Выбор коэффициентов маски должен произво­диться экспериментально, при этом они должны быть нормированы:

с тем чтобы процедура подавления помех не вызы­вала смещения яркости исходного изображения. При увеличении степени сглаживания шумов происходит также подавление высокочастотной составляющей полезного изобра­жения, что вызывает исчезновение мелких деталей и размазывание контуров. Если требуемая степень сглаживания с применением маски размера 3х3 не достигается, то следует использовать сглаживаю­щие маски больших размеров (5x5,7x7,...).

Визуально эффективность фильтрации можно оценить с помощью рис.5.5. На рис. 5.5.б показан зашумленный портрет (изображение без шума рис.5.53.а) при отношении сигнал/шум равном -5дБ. Результат масочной фильтрации при оптимальном виде ИХ, найденной из (5.11), приведен на рис.5.5.в. Результат фильтрации, выполненной равномерным масочным оператором не приводится, поскольку с визуальной точки зрения он мало отличается от рис.5.3.в. При этом, однако, с количественной точки зрения различия достаточно заметны: если при оптимальной КИХ относительная ошибка , то при равномерной КИХ она возрастает почти на 30% и составляет . Различие резко возрастает при более высоком уровне шума. Так, например, при отношении сигнал/шум равном -10дБ имеем и , т.е. применение равномерной КИХ вместо оптимальной приводит в этом случае к увеличению ошибок более чем вдвое.

а)
б)	в)
Рис. 5.5. Пример масочной фильтрации при

Здесь полезно отметить определенное разногласие в оценках качества, даваемых человеческим глазом и применяемыми количественными показателями. Глаз является слишком совершенным изобретением природы, чтобы с ним могли соревноваться достаточно примитивные математические показатели типа среднего квадрата ошибок. Поэтому некоторые результаты, рассматриваемые с точки зрения математических показателей как катастрофические, визуально могут быть вполне удовлетворительными. Означает ли это, что математические критерии вообще непригодны при цифровой обработке изображений? Конечно, нет. Цифровая обработка изображений находит применение в различных информационных системах с автоматическим принятием решений, основанным на этой обработке.

Функционирование таких систем, где отсутствует человеческий глаз, полностью подчинено математическим критериям и качество их работы оценивается только математическими показателями. Понятно, что и качество изображений, используемых в этих системах, также должно оцениваться только математическими критериями.

В целом применение описанных процедур фильтрации приводит к существенному снижению уровня шума на изображении. Количественно эффективность данной обработки можно охарактеризовать коэффициентом улучшения отношения сигнал/шум , где учтено, что величина определяет отношение сигнал/шум после фильтрации. Улучшение зависит от уровня шума на исходном изображении и составляет в приведенном эксперименте при дБ и при дБ. Коэффициент улучшения тем выше, чем сильнее шум на исходном изображении.