5.2. Масочная (оконная) фильтрация изображений

Распространенным видом помехи является белый шум, аддитивно воздействующий на изображение. Наблюдаемое в этом случае изображение (5.1) имеет вид:

, (5.10)

а корреляционная функция шума описывается выражением: .

Здесь - дисперсия шума, а - символ Кронекера. Считаем, что входной сигнал центрирован, т.е. имеет нулевое математическое ожидание, а изображение и шум взаимно независимы, поэтому для корреляционной функции входного сигнала справедливо:

,

где - дисперсия, а - нормированная корреляционная функция полезного сигнала. В этих условиях взаимная корреляционная функция совпадает с корреляционной функцией полезного сигнала . Поэтому уравнение Винера -Хопфа (5.6) приводится к виду:

, (5.11)

где - отношение дисперсий сигнала и шума. Преобразуем также выражение (5.7) для ошибок фильтрации, для чего запишем в явном виде то из уравнений в (5.11), которое соответствует значениям : , откуда находим: . Сравнивая это соотношение с (5.7), окончательно получаем:

,

где - относительный средний квадрат ошибок фильтрации. Таким образом, для определения ошибок фильтрации необходимо знать отношение сигнал/шум (которое входит также и в уравнение Винера-Хопфа) и значение оптимальной импульсной характеристики в точке (0,0).

Для того чтобы при решении уравнения (5.11) воспользоваться существующими программными средствами ЭВМ, необходимо выполнить его упорядоченное преобразование к каноническому векторно-матричному виду. Для этого требуется совокупность неизвестных величин представить в виде вектора . Точно также множество величин, образующих левые части (5.11), следует представить в виде вектора , а множество коэффициентов правой части в виде матрицы размера . Тогда уравнение и его решение примут вид:

.

В практике цифровой обработки изображений широко используется масочная фильтрация. Ее линейная разновидность является одним из вариантов двумерной КИХ-фильтрации. В качестве маски используется множество весовых коэффициентов, заданных во всех точках окрестности , обычно симметрично окружающих рабочую точку кадра. Это матрица H размера n m с заданным центром, которая задает коэффициенты для преобразования изображения.

– весовая функция

Также могут использоваться маски с апертурой 3 3, 5 5, 7 7, и т.д. Распространенным видом окрестности, часто применяемым на практике, является квадрат 3 3 с рабочим элементом в центре, изображенный на рис. 5.1.б. Масочный оператор применяется для улучше­ния качества изображения: повышение резкости, сглаживания шумов, подчеркивания границ, выделения линий единичной ширины низкочастотную или высокочастотную фильтра­цию и т. д. Применяют различные разновидности масок, одним из эвристических вариантов является равномерная маска, все девять весовых коэффициентов которой равны 1/9. Такой выбор коэффициентов отвечает условию сохранения средней яркости (5.9) и поэтому в процессе обработки центрировать изображение не требуется.

Рис. 5.2. Виды окон для масочной фильтрации.

При фильтрации изображений маска помещается в верхний левый угол, и начинает перемещается поэлементно вправо, дойдя до конца, смещается вниз на один пиксель и также пробегает все строку и т. д., пока не окажется в правом нижнем углу. При каждом положении апертуры вычисляется некоторая характеристика, которая равна сумме произведений весовых множителей матрицы Н с соответствующими значениями яркостей исходного изображения, присвоенная центральному (i,j)-му  пикселу, называемая откликом фильтра. Обычно это значение делится на заранее заданное число K (нормирующий множитель). Маска содержит нечетное число строк и столбцов N, чтобы центральный элемент определялся однозначно. Таким образом маска проходит все изображение изменяя значение яркости пикселей.

Рис. 5.3. Движение маски по изображению

Фильтры, в которых отклик не выражается линейной зависимостью от значений элементов изображения, называются нелинейными.

Если отклик фильтра записывается в новое изображение, то такие фильтры простые.

Если отклик помещается обратно в исходное изображение, то такой фильтр называется рекурсивным.

Возможно многократное повторение операций фильтрации. Чем больше фильтруют, тем больше меняется изображение за счет многократного усреднения, отрезания высоких частот, сглаживания изображения, отрезания вспышек яркости. При такой фильтрации может возникнуть явление краевого эффекта: сокращение на один элемент с каждой стороны (если изображения маленькие, то потеря крайних пикселей будет негативно влиять на изображение). Для борьбы с этим недостатком при обработке изображений вблизи границ либо уменьшают апертуру, если она больше, чем 3 3, либо дополняют исходное изображение столбцами и строками с нулевыми элементами (они не меняют изображение) или дублированием последнего столбца и строки. Также вместо столбцов и строк с измененными коэффициентами добавляются столбцы и строки, взятые с противоположной стороны изображения (изображение как бы «свертывают в цилиндр» и берут недостающую строку в конце с началом).

Время обработки изображения сильно зависит от размера апертуры и от траектории движения этой апертуры по картинке (обычно слева направо, сверху вниз), но могут быть и другие виды движения (например, обратная связь при решении задач поиска).