4.1. Введение в Фурье-преобразование

Математические основы Фурье-преобразования

Преобразование Фурье непрерывного во времени сигнала имеет вид

, (4.1)

которое идентифицирует частоты и амплитуды тех комплексных синусоид (экспонент), на которые разлагается некоторое произвольное колебание.

Обратное преобразование

.

Существование прямого и обратного преобразования Фурье (которое в дальнейшем мы будем называть непрерывно-временным преобразованием Фурье - НВПФ) определяется рядом условий. Достаточное - абсолютная интегрируемость сигнала

.

Менее ограничительное достаточное условие - конечность энергии сигнала

.

Приведем ряд основных свойств преобразования Фурье и функций, используемых далее, заметив, что прямоугольное окно определяется выражением

(4.2)

а функция sinc - выражением

Функция отсчетов (функция периодического продолжения) во временной области определяется выражением

Таблица 4.1. Основные свойства НВПФ и функции

Свойство, функция	Функция	Преобразование
Линейность	ag( t ) + bh( t )	aG( f ) + bH( f )
Сдвиг по времени	h ( t - t0 )	H( f )exp( -j2pf t0 )
Сдвиг по частоте (модуляция)	h ( t )exp( j2pf0 t )	H( f - f0 )
Масштабирование	( 1 / |a| )h( t / a )	H( af )
Теорема свертки во временной области	g( t )*h( t )	G( f )H( f )
Теорема свертки в частотной области	g( t ) h( t )	G( f )*H( f )
Функция окна	Aw( t / T )	2ATsinc( 2Tf )
Функция sinc	2AFsinc( 2Ft )	Aw( f / F )
Импульсная функция	Ad( t )	A
Функция отсчетов	T(f)	F F(f), F=1/T

Еще одно важное свойство устанавливается теоремой Парсеваля для двух функций g(t) и h(t):

.

Если положить g(t) = h(t), то теорема Парсеваля сводится к закону сохранения энергии в двух областях (временной и частотной):

,

где слева стоит полная энергия сигнала, таким образом, функция

описывает распределение энергии по частоте для детерминированного сигнала h(t) и поэтому называется спектральной плотностью энергии (СПЭ). С помощью выражений

можно вычислить амплитудный и фазовый спектры сигнала h( t ).

Операции дискретизации и взвешивания

Дискретно-временной ряд Фурье (ДВРФ) или иначе дискретное преобразование Фурье (ДПФ) – это частный случай непрерывно-временного преобразования Фурье (НВПФ) с использованием двух базовых операций обработки сигналов – взятия отсчетов (дискретизации) и взвешивания с помощью окна. Рассмотрим влияние этих операций на сигнал и его преобразование. В таблице 4.2 перечислены функции, с помощью которых осуществляется взвешивание и дискретизация.

При равномерных отсчетах с интервалом T секунд частота отсчетов F=1/T Гц. Взвешивающая функция и функция отсчетов во временной области обозначаются соответственно TW (time windowing) и TS (time sampling), а в частотной области - FW (frequency windowing) и FS (frequency sampling).

Таблица 4.2. Взвешивание и дискретизирующие функции

Операция	Функция времени	Преобразование
Взвешивание во временной области (ширина окна NT сек)	TW=w(2t / NT - 1)	F{TW}=NTsinc(NTf)exp(-jpNTf)
Взвешивание в частотной области (ширина окна 1/T Гц)		FW=w( 2Tf )
Отсчеты во времени (интервалом T сек)	TS=TT(t)
Отсчеты по частоте (с интервалом 1/NT Гц)

Предположим, что берутся отсчеты непрерывного действительного сигнала x(t) c ограниченным спектром, верхняя частота которого равна F₀. НВПФ действительного сигнала – это всегда симметричная функция с полной шириной 2F₀, см. рис.4.1. Отсчеты сигнала x(t) могут быть получены посредством умножения этого сигнала на функцию отсчетов:

Рис.4.1. Иллюстрация теоремы отсчетов во временной области для действительного сигнала с ограниченным спектром: а - исходная функция времени и ее преобразование Фурье; б - функция отсчетов во времени и ее преобразование Фурье; в - временные отсчеты исходной функции и ее периодически продолженное преобразование Фурье для случая F₀<1/2T; г - частотное окно (идеальный фильтр нижних частот) и его преобразование Фурье (функция sinc); д - исходная функция времени, восстановленная посредством операции свертки с функцией sinc.

В соответствии с теоремой о свертке в частотной области, НВПФ сигнала x(t) – это просто свертка спектра сигнала x(t) и преобразования Фурье функции отсчетов по времени (TS):

.

Свертка X(f) c преобразованием Фурье функции отсчетов F {TS}=Y1/T(f) просто периодически продолжает X(f) с частотным интервалом 1/T Гц. Поэтому XS(f) представляет собой периодически продолженный спектр X(f). В общем случае отсчеты в одной области (например, временной) приводят к периодическому продолжению в области преобразования (например, частотной). Если частота отсчетов выбрана достаточно низкой (F<2F₀), то периодически продолженные спектры будут перекрываться с соседними. Это перекрытие носит название эффекта наложения в частотной области.

Для того, чтобы восстановить исходный временной сигнал по его отсчетам, т.е. осуществить интерполяцию некоторого континуума значений между этими отсчетами, можно пропустить дискретизованные данные через идеальный фильтр нижних частот с прямоугольной частотной характеристикой (рис. 4.1 г)

. (4.3)

В результате (см. Рис. 4.1 д ) восстанавливается исходное преобразование Фурье. Используя теоремы о свертке во временной и частотной областях, получаем

.  (4.4)

Выражение (4.4) представляет собой математическую запись теоремы отсчетов во временной области (теоремы Уиттекера, Котельникова, Шеннона - УКШ), которая утверждает, что с помощью интерполяционной формулы (4.4) действительный сигнал с ограниченным спектром может быть точно восстановлен по бесконечному числу известных временных отсчетов, взятых с частотой F_і2F₀. Дуальной к теореме (4.4) является теорема отсчетов в частотной области для сигналов с ограниченной длительностью. Операции во временной области, аналогичные (4.3), описываются выражением

,

а соответствующие преобразования - выражениями  

Таким образом, НВПФ X(f) некоторого сигнала с ограниченной длительностью может быть однозначно восстановлено по эквидистантным отсчетам спектра такого сигнала, если выбранный интервал отсчетов по частоте удовлетворяет условию F1/2T₀ Гц, где T₀ –длительность сигнала.

Соотношения между непрерывными и дискретными преобразованиями

Пара преобразований для обычного определения дискретного преобразования Фурье (ДПФ) N-точечной временной последовательности x[n] и соответствующей ей N-точечной последовательности преобразования Фурье X[k] дается выражениями

,  .

Чтобы по отсчетам данных получить спектральные оценки в соответствующих единицах измерения энергии или мощности, запишем дискретно-временной ряд Фурье (ДВРФ), который можно рассматривать как некоторую аппроксимацию непрерывно-временного преобразования Фурье (НВПФ), основанную на использовании конечного числа отсчетов данных:

,

  Для того, чтобы показать характер соответствия ДВРФ (дискретные функции и во временной и в частотной областях) и НВПФ (непрерывные функции во временной и в частотной областях), нам потребуется последовательность из четырех линейных коммутативных операций: взвешивания во временной и частотной областях и взятия отсчетов или дискретизации как во временной, так и в частотной областях. Если операция взвешивания выполняется в одной из этих областей, то, согласно теореме свертки, ей будет соответствовать выполнение операции фильтрации (свертки) в другой области с функцией sinc. Точно также, если в одной области выполняется дискретизация, то в другой выполняется операция периодического продолжения. Так как взвешивание и взятие отсчетов являются линейными и коммутативными операциями, то возможны различные способы их упорядочения, дающие одинаковый конечный результат при различных промежуточных результатах. На рис. 4.2 показаны две возможные последовательности выполнения этих четырех операций.

Рис. 4.2. Две возможные последовательности из двух операций взвешивания и двух операций взятия отсчетов, связывающие НВПФ и ДВРФ:

FW - применение окна в частотной области; TW - применение окна во временной области;

FS - взятие отсчетов в частотной области; TS - взятие отсчетов во временной области.

1 - преобразование Фурье с непрерывным временем, уравнение (4.1);

4 - преобразование Фурье с дискретным временем, уравнение (4.5);

5 - ряд Фурье с непрерывным временем, уравнение (4.6);

8 - ряд Фурье с дискретным временем, уравнение (4.8)

В результате выполнения операций взвешивания и взятия отсчетов в узлах 1, 4, 5 и 8 будут иметь место четыре различных типа соотношений Фурье. Узлы, в которых функция в частотной области непрерывна, относятся к преобразованиям Фурье, а узлы, в которых функция в частотной области дискретна относятся к рядам Фурье.

Так в узле 4 взвешивание в частотной и дискретизация во временной области порождает дискретно-временное преобразование Фурье (ДВПФ), которое характеризуется периодической функцией спектра в частотной области с периодом 1/T Гц:

  (4.5)

Заметим, что выражение (4.5) определяет некоторую периодическую функцию, совпадающую с заданной в узле 1 исходной преобразованной функцией только на интервале частот от -1/2T до 1/2T Гц. Выражение (4.5) связано с Z-преобразованием дискретной последовательности x[n] соотношением

Таким образом, ДВПФ – это просто Z-преобразование, вычисленное на единичной окружности и умноженное на T.

Если продвигаться от узла 1 к узлу 8 на рис. 4.2 по нижней ветви, в узле 5 операции взвешивания во временной области (ограничения длительности сигнала) и дискретизации в частотной порождают непрерывно-временной ряд Фурье (НВРФ). Используя приведенные в таблицах 1 и 2 свойства и определения функций, получим следующую пару преобразований

  (4.6)

(4.7)

Заметим, что выражение (4.7) определяет некоторую периодическую функцию, которая совпадает с исходной (в узле 1) только на интервале времени от 0 до NT. Независимо от того, какая из двух последовательностей четырех операций выбрана, окончательный результат в узле 8 будет одним и тем же – дискретно-временным рядом Фурье, которому соответствует следующая пара преобразований, полученных с использованием свойств, указанных в таблице 4.1.

, (4.8)

где k=-N/2, . . . ,N/2-1

, (4.9)

где n=0, . . . ,N-1.

Теорема о энергии для этого ДВРФ имеет вид:

 (4.10)

и характеризует энергию последовательности из N отсчетов данных. Обе последовательности x[n] и X[k] периодичны по модулю N, поэтому (4.9) можно записать в форме

(4.11)

где 0 n N. Множитель T в (4.8) - (4.11) необходим для того, чтобы (4.8) и (4.9) являлись в действительности аппроксимацией интегрального преобразования в области интегрирования

.

Дополнение нулями

С помощью процесса, называемого дополнением нулями, дискретно-временной ряд Фурье может быть изменен для интерполяции между N значениями исходного преобразования. Пусть имеющиеся отсчеты данных x[0],...,x[N-1] дополнены нулевыми значениями x[N],...X[2N-1]. ДВРФ этой дополненной нулями 2N-точечной последовательности данных будет определяться выражением

где верхний предел суммы справа изменен в соответствии с наличием нулевых данных. Пусть k=2m, так что

,

где m=0,1,...,N-1, определяет четные значения X[k]. Отсюда видно, что при четных значениях индекса k 2N-точечный дискретно-временной ряд Фурье сводится к N-точечному дискретно-временному ряду. Нечетные значения индекса k соответствуют интерполированным значениям ДВРФ, расположенным между значениями исходного N-точечного ДВРФ. По мере того, как все большее число нулей добавляется в исходную N-точечную последовательность, можно получить еще большее число интерполированных данных. В предельном случае бесконечного числа вводимых нулей ДВРФ может рассматриваться как дискретно-временное преобразование Фурье N-точечной последовательности данных:

. (4.12)

Преобразование (4.12) соответствует узлу 6 на рис. 4.2.

Бытует неправильное мнение о том, что дополнение нулями улучшает разрешение, поскольку оно увеличивает длину последовательности данных. Однако, как следует из рис.4.3, дополнение нулями не улучшает разрешающую способность преобразования, полученного по заданной конечной последовательности данных. Дополнение нулями просто позволяет получить интерполированное преобразование более сглаженной формы. Кроме того, оно устраняет неопределенности, обусловленные наличием узкополосных компонент сигнала, частоты которых лежат между N точками, соответствующими оцениваемым частотам исходного ДВРФ. При дополнении нулями повышается также и точность оценивания частоты спектральных пиков. Под термином спектральное разрешение мы будем понимать способность различать спектральные отклики двух гармонических сигналов.

Общепринятое эмпирическое правило, часто используемое при спектральном анализе, гласит, что разнесение различаемых синусоид по частоте не может быть меньше эквивалентной ширины полосы окна, через которое наблюдаются сегменты (отрезки) этих синусоид.

Рис. 4.3. Интерполяция за счет дополнения нулями: а - модуль ДВРФ 16-ти точечной записи данных, содержащих три синусоиды без дополнения нулями (видны неопределенности: нельзя сказать сколько в сигнале синусоид - две, три или четыре); б - модуль ДВРФ той же последовательности после двукратного увеличения числа ее отсчетов за счет дополнения 16 нулями (неопределенности разрешены, так как различимы все три синусоиды; в - модуль ДВРФ той же последовательности после четырехкратного увеличения числа ее отсчетов за счет дополнения нулями.

Эквивалентная ширина полосы окна может быть определена как

где W(f) – дискретно-временное преобразование Фурье функции окна, например, прямоугольного (4.2). Аналогично можно ввести эквивалентную длительность окна

Можно показать, что эквивалентная длительность окна (или любого другого сигнала) и эквивалентная ширина полосы его преобразования являются взаимно обратными величинами.

Быстрое преобразование Фурье

Быстрое преобразование Фурье (БПФ) – это не еще одна разновидность преобразования Фурье, а название целого ряда эффективных алгоритмов, предназначенных для быстрого вычисления дискретно-временного ряда Фурье.    Основная проблема, возникающая при практической реализации ДВРФ, заключена в большом количестве вычислительных операций, пропорциональном N². Хотя еще задолго до появления компьютеров было предложено несколько эффективных вычислительных схем, позволяющих существенно сократить число вычислительных операций, настоящую революцию произвела публикация в 1965 году статьи Кули (Cooly) и Тьюки (Tukey) c практическим алгоритмом быстрого (число операций Nlog₂N) вычисления ДВРФ. После этого было разработано множество вариантов, усовершенствований и дополнений основной идеи, составивших класс алгоритмов, известных под названием быстрого преобразования Фурье. Основная идея БПФ - деление N-точечного ДВРФ на два и более ДВРФ меньшей длины, каждый из которых можно вычислить отдельно, а затем линейно просуммировать с остальными, с тем чтобы получить ДВРФ исходной N-точечной последовательности.

Представим дискретное преобразование Фурье (ДВРФ) в виде

, (4.13)

где величина W_N=exp(-j2/N) носит название поворачивающего множителя (здесь и далее в этом разделе период выборки T=1). Выделим из последовательности x[n] элементы с четными и нечетными номерами

. (4.14)

Но так как , то . Следовательно, (4.14) можно записать в виде

, (4.15)

где каждое из слагаемых является преобразованием длины N/2

  (4.16)

Заметим, что последовательность (WN/2)^nk периодична по k с периодом N/2. Поэтому, хотя номер k в выражении (4.15) принимает значения от 0 до N-1, каждая из сумм вычисляется для значений k от 0 до N/2-1. Можно оценить число комплексных операций умножения и сложения, необходимых для вычисления преобразования Фурье в соответствии с алгоритмом (4.15)-(4.16). Два N/2-точечных преобразования Фурье по формулам (4.16) предполагают выполнение 2(N/2)² умножений и приблизительно столько же сложений. Объединение двух N/2-точечных преобразований по формуле (4.15) требует еще N умножений и N сложений. Следовательно, для вычисления преобразования Фурье для всех N значений k необходимо произвести по N+N²/2 умножений и сложений. В то же время прямое вычисление по формуле (4.13) требует по N² умножений и сложений. Уже при N>2 выполняется неравенство N+N²/2 < N² , и, таким образом, вычисления по алгоритму (4.15)-(4.16) требуют меньшего числа математических операций по сравнению с прямым вычислением преобразования Фурье по формуле (4.13). Так как вычисление N-точечного преобразования Фурье через два N/2-точечных приводит к экономии вычислительных операций, то каждое из N/2-точечных ДПФ следует вычислять путем сведения их к N/4-точечным преобразованиям:

, (4.17) (4.18)

При этом, вследствие периодичности последовательности W^nk_N/4 по k с периодом N/4, суммы (4.18) необходимо вычислять только для значений k от 0 до N/4-1. Поэтому расчет последовательности X[k] по формулам (4.15), (4.17) и (4.18) требует, как нетрудно подсчитать, уже по 2N+N²/4 операций умножения и сложения.

Следуя таким путем, объем вычислений X[k] можно все более и более уменьшать. После m=log₂N разложений приходим к двухточечным преобразованиям Фурье вида

,

где "одноточечные преобразования" X₁[k,p] представляют собой просто отсчеты сигнала x[n]:

X₁[k,q]=x[q]/N, q=0,1,...,N-1.

В итоге можно записать алгоритм БПФ, получивший по понятным причинам название алгоритма с прореживанием по времени:

X₂[k,p] = (x[p] + W^k₂x[p+N/2]) / N,

где k=0,1, p=0,1,...,N/2 -1;

X_2N/M[k,p] =X_N/M[k,p] + W^k_2N/MX_N/M[k,p+M/2],

где k=0,1,...,2N/M -1, p=0,1,...,M/2 -1;

X[k] = X_N[k] =X_N/2[k,0] + W^k_NX_N/2[k,1],          

где k=0,1,...,N-1.

На каждом этапе вычислений производится по N комплексных умножений и сложений. А так как число разложений исходной последовательности на подпоследовательности половинной длины равно log₂N, то полное число операций умножения-сложения в алгоритме БПФ равно Nlog₂N. При больших N имеет место существенная экономия вычислительных операций по сравнению с прямым вычислением ДПФ. Например, при N = 2¹⁰ = 1024 число операций уменьшается в 117 раз.

Рассмотренный нами алгоритм БПФ с прореживанием по времени основан на вычислении преобразования Фурье путем формирования подпоследовательностей входной последовательности x[n]. Однако можно использовать также разложение на подпоследовательности преобразования Фурье X[k]. Алгоритм БПФ, основанный на этой процедуре, носит название алгоритма с прореживанием по частоте.