3.5. Равномерный закон распределения вероятностей
Если плотность распределения вероятностей случайной непрерывной величины постоянна от a до b, то она может быть записана в виде
Граничные значения a и b называются параметрами закона. График W(x) показан на рис. 3.5.1.
Рис. 3.5.1. Плотность распределения при равномерном законе
Параметр h определим из условия равенства единицы площади под кривой закона
.
Определим функцию распределения
.
График функции распределения показан на рис. 3.5.2.
Рис. 3.5.2. Функция распределения при равномерном законе
Определим математическое ожидание и дисперсию равномерно распределенной случайной величины,
,
.
После интегрирования получим
.
Закон распределения (рис. 3.5.1) симметричный, поэтому Ka=0.
3.6. Нормальный закон распределения
Гаусс, один из великих математиков прошлого, предложил описывать ошибки измерений следующим выражением для их плотности распределения вероятности
.
Легко убедиться, что в этом случае
,.
.
Плотность распределения вероятности Гаусса называется нормальным законом распределения. Математики доказали, что сумма достаточно большого числа независимых (или слабо зависимых) случайных величин, подчиненных каким угодно законам распределения (при соблюдении некоторых не очень жестких ограничений) приближенно подчиняется нормальному закону, и это выполняется тем точнее, чем больше случайных величин суммируется.
Нормальный закон распределения имеет
2 параметра: a
– математическое ожидание и
– дисперсия. На рис. 3.6.1. показаны графики
нормального закона распределения для
различных параметров а и
Рис. 3.6.1. Графики нормального закона распределения
Определим вероятность того, что случайные
величины x
находятся в интервале
и
Заменив переменную интегрирования
,
этот интеграл приведем к интегралу
вероятности Гаусса.
Интеграл вероятности Гаусса записывается в виде
В различных справочниках есть таблицы
функции
,
которая обладает очевидным свойством
.
Для вероятности
запишем выражение
,
где
,
.
В результате получим
В таблице 3.6.1. приведены значения вероятности .
Таблица 3.6.1.
-
1
2
3
3,5
0,6826
0,9544
0,9972
0,9996
Из данных таблицы 3.6.1. следует, что с
вероятностью, близкой к единице (0,9972),
случайные величины с распределением
Гаусса располагаются в интервале
.
Это утверждение называется законом
трех сигм.
Дисперсия характеризует величину разброса случайных гауссовых величин около своего математического ожидания. По мере уменьшения разброса дисперсия уменьшается. Рассмотрим предел, к которому стремится закон Гаусса при стремлении дисперсии к нулю. Этот предел называется функцией Дирака
,
где
,
.
Функция Дирака описывает закон распределения постоянной (детерминированной) величины a, т.е. постоянные числа являются частным случаем случайных величин.
Запишем выражения для законов распределения близких к нормальному.
1. Логистический закон распределения вероятностей
,
,
.
2. Закон распределения Коши
,
,
– не существует.
3. Закон распределения Стьюдента
,
,
.
4. Закон распределения Симпсона
,
.
Среди симметричных законов распределения распределение Гаусса считается эталоном. Другие симметричные распределения, похожие на распределение Гаусса, можно сравнивать с эталоном. Показателем близости может служить нормированное математическое ожидание четвёртой степени отклонения случайной величины от своего математического ожидания
,
где
– коэффициент эксцесса,
– дисперсия,
.
Для нормального закона распределения
,
а коэффициент эксцесса
.
Если
,
то
и если
,
то
.