1.3. Вероятности суммы и произведения независимых случайных событий

Рассмотрим два независимых и несовместимых случайных события A и B. Пусть при проведении n экспериментов событие A появилось раз, а событие B – раз. Так как C = A + B, то и, следовательно . При будем иметь , то есть вероятность суммы двух независимых несовместимых событий равна сумме их вероятностей.

Рассмотрим теперь два независимых, но совместимых события A и B с вероятностями появления и . Предположим, что при проведении n₁ экспериментов с событием A число положительных исходов было равно n_A, а при проведении n₂ экспериментов с событием B число положительных исходов было равно n_B. Общее число вариантов экспериментальных данных равно произведению n₁ n₂, а число совместных появлений и A, и B равно n_A n_B. Следовательно, частота появления AB равна , а вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей

.

Для нескольких случайных независимых событий вероятности суммы и произведения определяются по формулам:

,

.

Для полной группы событий вероятность суммы равна единице

.

Если полная группа состоит из двух событий, то имеет место соотношение

.

Рассмотрим совокупность независимых событий и совокупность противоположных событий . Определим вероятность появления хотя бы одного (безразлично какого) из событий A_k. Очевидно, что появление такого события исключает возможность совместного появления всех противоположных событий . Эта вероятность равна их произведению

,

а вероятность появления хотя бы одного из событий равна

.

Если n = 2, то

.

Если события A и B зависимые, то вероятность их произведения равна произведению вероятности появления одного события на условную вероятность появления другого события

.

Если события независимые, то и в этом случае

.

В качестве меры зависимости двух случайных событий используется коэффициент корреляции, вычисляемый по формуле

.

Коэффициент корреляции положителен, если вероятность одного из событий увеличивается после наступления второго (например, если ). Коэффициент корреляции отрицателен, если . Коэффициент корреляции противоположных событий всегда равен -1, так как .

1.4. Статистическая теория причинно-следственных связей случайных событий

Рассмотрим полную группу несовместимых и независимых случайных событий , вероятности которых известны и равны . События ( ) порождают одно и то же случайное следствие C, вероятность которого неизвестна, но известны условные вероятности появления следствия при появлении каждого события , то есть между случайными событиями и C существуют причинно-следственные связи, количественно описываемые условными вероятностями , . События и C являются совместимыми и их произведение является сложным случайным событием с вероятностью

.

Следствие будет иметь место при появлении или причины , или причины , или …, или причины , то есть событие C является суммой произведений . Следовательно,

.

Эта формула называется формулой полной вероятности следствия, порождаемого несколькими независимыми и несовместимыми причинами.

На практике возникает задача определения наиболее вероятной причины того или иного следствия. Очевидно, что наиболее вероятной причиной будет та, у которой будет наибольшей условная вероятность . Условные вероятности причин , если следствие C произошло, можно определить следующим образом. Так как

,

то

.

Эта формула называется формулой Байеса. Определив все , можно ранжировать причины так, чтобы

.