2.3. Гипергеометрические распределения вероятностей дискретных случайных величин

Предположим, что в урне n₁ белых и n₂ черных шаров, так что в сумме их N=n₁+n₂. Из урны вынимается n шаров. Допустим, что среди них будет k₁ белых и k₂ черных, так что в сумме их n= k₁+k₂. Определить вероятность того, что среди n шаров будет k₁ белых.

Общее число вариантов выемки шаров равно числу сочетаний , а число положительных исходов произведению сочетания на сочетание . Следовательно,

.

Так как нас интересуют белые шары, то

.

Этот закон называют гипергеометрическим законом распределения. В задачах выборочного контроля он описывает число m бракованных изделий в малой партии из n изделий, если в большой партии число бракованных изделий равно M, а партия состоит из N изделий.

Запишем его в виде

,

где , т.е. m должно быть больше нуля или больше числа , если это число больше нуля и меньше одного из чисел или n, или M.

Можно показать, что гипергеометрический закон распределения может быть записан также в виде

.

Если изделия контролируются последовательно до появления m-го бракованного, то случайной величиной будет число n проконтролированных изделий, где . Общее число вариантов размещения бракованных и нормальных изделий в большой партии равно числу размещений , а число вариантов контроля равно произведению числа сочетаний (m-1) из (n-1) умноженному на число сочетаний M-m из N-n (например, если m=3, то ННБНННБННБ, n=10). Следовательно,

.

Этот закон называется отрицательным гипергеометрическим.

В задачах выборочного контроля наибольший интерес представляет оценка числа M бракованных изделий с большой партии, если в малой обнаружено m бракованных. Ожидаемое случайное число M описывается обратным гипергеометрическим законом распределения, который записывается в виде

.

2.4. Функции распределения вероятностей дискретных случайных величин

Определим функцию распределения вероятностей дискретных случайных величин следующим образом. Функцией распределения будем называть вероятность того, что случайная величина k меньше или равна x, где x – любое число в интервале (-∞,+∞).

Очевидные свойства этой функции:

1) F(-∞) = 0, F(∞) = 1 и эта функция неубывающая, то есть при любом x.

2) Эта функция ступенчатая и если случайная величина принимает значения k₁, k₂, …, k_i, …, k_n, то

,

где sgn(z) – функция единичного скачка, равная единице, если z≥0, равная нулю, если z<0; если случайные величины целочисленные, то k_i=i и

.

Если функция F(x) известна, то вероятность того, что случайная величина k будет находиться в интервале от x₁ до x₂, равна

.

2.5. Числовые характеристики дискретных случайных величин

При исследовании и сравнении случайных величин используются следующие их числовые показатели:

1) наиболее вероятное значение дискретной случайной величины;

2) наиболее ожидаемое значение дискретной случайной величины (математическое ожидание);

3) разброс случайных величин около своего математического ожидания.

Наиболее вероятные значения случайных величин находят путем анализа отношения

.

Если k_н – наиболее вероятное значение, то максимально.

Формулу для математического ожидания получим следующим образом. Рассмотрим выборку случайных величин k₁, k₂, …, k_i, …, k_n. В этой выборке будет n_j случайных величин, имеющих одинаковые значения k_j. Запишем их в виде пар (n_j, k_j). Среднее значение случайных величин k_i равно их сумме, деленной на общее число

.

Математическое ожидание дискретных случайных величин равно пределу, к которому стремится среднее , если n→∞

.

Для целочисленных случайных величин формула запишется в виде

.

Разброс случайных величин около своего математического ожидания будем характеризовать математическим ожиданием квадрата отклонения k_i от M[k_i]. Эта характеристика называется дисперсией

.

Если случайные величины k_1i и k_2i зависимые, то коэффициент их корреляции вычисляется по формуле

.

Приведем формулы для определения математического ожидания и дисперсии рассмотренных дискретных случайных величин.

1. Биномиальное распределение

, .

2. Отрицательное биномиальное распределение

, .

3. Обобщенное отрицательное распределение

, .

4. Геометрическое распределение

, .

5. Обратный биномиальный закон распределения

, .

6. Гипергеометрическое распределение

, .

7. Обратное гипергеометрическое

, .

8. Отрицательное гипергеометрическое

,

.