5.3 Моделирование путем специального преобразования случайных величин с заданными законами распределения

1. Если x – нормальная случайная величина с нулевым математическим ожиданием и одиночной дисперсией, а z – независимая случайная величина с распределением хи-квадрат с n степенями свободы, то после их преобразования функцией вида

случайная величина t будет иметь закон распределения Стъюдента (Госсета) с n степенями свободы

.

Математическое ожидание и дисперсия t равны M[t]=0,

2. Преобразование двух независимых случайных величин z₁ и z₂ с законами распределения хи-квадрат и параметрами n₁ и n₂ вида

имеет распределение Снедекора (или F-распределение)

.

Математическое ожидание и дисперсия равны

.

Законы распределения Стъюдента и Снедекора используются в задачах сравнения выборочных средних значений и и выборочных дисперсий D₁* и D₂*.

3. Если x₁ и x₂ независимые случайные величины с гамма-распределением вида

то преобразование

имеет бета-распределение с параметрами  и 

.

5.4 Моделирование двухмерных коррелированных случайных величин

1. Располагая двумя независимыми генераторами нормальных случайных величин ₁(k) и ₂(k), где M[₁]=M[₂]=0, D[₁]=D[₂]=1, сформируем двухмерные коррелированные случайные величины с M[x₁]=a₁, D[x₁]=₁², M[x₂]=a₂, D[x₂]=σ₂² и коэффициентом корреляции  в соответствии с алгоритмом

Легко убедиться, что M[x₁x₂] и  равны

2. Двухмерные экспоненциальные случайные величины сформируем следующим образом. Запишем выражение для двухмерного закона распределения

.

Одномерные законы W(x₁) и W(x₂) равны

, .

Условный закон распределения W(x₂/ x₁) получим из формулы

где r – коэффициент корреляции экспоненциальных случайных величин x₁ и x₂.

Алгоритм моделирования случайных величин с этим законом распределения получим следующим образом. Рассмотрим выражение для закона Райса (обобщенного закона Релея)

.

Случайные величины с этим законом распределения равны

где ₁ и ₂ – независимые нормальные случайные величины с M[₁]= M[₂]=0, D[₁]= D[₂]=².

Рассмотрим преобразование y²=z, 2ydy=dz. Для закона W(z) получим формулу

z≥0.

Сравним W(z) и W(x₂/x₁). Получим z=y²=x₂, 2²=(1-r), .

Из сравнения следует алгоритм моделирования двухмерных случайных величин x₁ и x₂:

1. сформировать случайную величину x₁ с экспоненциальным законом распределения и параметром ;

2. сформировать две независимые случайные величины ₁ и ₂ с нормальным распределением и параметрами M[ξ]=0, D[ξ]=²= ;

3. x₂ вычислить по формуле

.

3. Двухмерные релеевские случайные величины с параметрами b и  и законом распределения

сформируем следующим образом. Запишем одномерный W(x₁) и условный W(x₂/x₁) законы распределения

Здесь условный закон – это распределение Райса с параметрами a=x₁, σ²=b(1-²). Алгоритм формирования двухмерных коррелированных релеевских величин включает в себя следующие операции:

1. формирование случайной релеевской величины x₁ с параметром b;

2. формирование двух независимых нормальных случайных величин ₁ и ₂ с нулевыми математическими ожиданиями и дисперсиями σ²=b(1-²);

3. расчет случайной величины x₂ по формуле

Коэффициент корреляции случайных величин x₁ и x₂

зависит от параметра  и его можно вычислить по формуле

где (2k-3)!! – произведение всех нечетных чисел до (2k-3) включительно (например, при k =5 это 1·3·5·7)