Введение

Неразрушающий контроль начинается с измерний. Измерение физических параметров положено в основу различных методов контроля. Можно выделить следующие группы физических параметров, по измерениям которых решаются задачи оценки состояния различных объектов: 1) геометрические и кинематические; 2) статические и динамические; 3) механические и молекулярные; 4) акустические и тепловые; 5) электрические и магнитные; 6) электромагнитные и другие виды излучений. Измерения этих параметров являются случайными величинами. Объекты контроля могут находится в различных состояниях: без дефектов или с дефектами; с параметрами в соответствии с заданными требованиями или отличными от них. Какой из объектов контролируется – это случайное событие.

Измерения содержат информацию о состоянии контролируемых объектов и технологических процессов. Чтобы получить эту информацию, необходимо измерения обработать, преобразовать по определенным правилам или алгоритмам и оценить показатели, характеризующие состояние объектов контроля или степени отклонения от нормы. Так как результаты контроля являются случайными событиями, а результаты измкркний – случайными величинами, то без знаний их свойств нельзя обрабатывать измерения и готовить данные для принятия решений о состоянии контролируемых объектов. Известно, что нет ничего лучшего для практики, чем хорошая теория. Настоящее учебное пособие является справочным руководством по применению теории вероятностей в задачах неразрушющего контроля и техничской диагностики. Теория вероятностей – это математические методы описания статистических закономерностей случайных событий и случайных величин, правила их преобразования при решении различных задач. Пособие предназначено для самостоятельной работы студентов и каждый раздел содержит задачи для самостоятельного решения. Решив эти задачи, каждый может оценить свои знания по основам теории вероятностей, без которых невозможно изучать такие дисциплины, как «Статистическая теория оценивания», «Обработка сигналов и измерений неразрушающего контроля», «Проектирование информационно-измерительных технологий неразрушающего контроля».

1. Теория вероятностей случайных событий

1.1 Частота и вероятность случайного события

Теория вероятностей изучает закономерности случайных событий и способы их количественного описания. Рассмотрим некоторый эксперимент, в результате которого может произойти случайное событие (например, из колоды карт вынимается одна карта, а случайное событие – это карта-дама). Если эксперимент продолжается n раз, а карта-дама появляется m раз, то частота ее появления равна отношению . Проведем серию экспериментов продолжительностью ( ). Очевидно, что в каждом i-том эксперименте карта-дама появится m_i раз. Запишем частоты появления карты-дамы в виде ряда:

Числовые значения этого ряда обозначим . Очевидно, что . Ниже приводится ряд частот, полученных путем приведения серий экспериментов с продолжительностями ; ; ; ; . Обозначим частоты буквой и запишем ряд частот: ; ; ; ; .

Исследования показывают, что такие ряды обладают интересным свойством: при больших значениях частота практически не изменяется, то есть при частота стремится к своему пределу, который является постоянным числом и называется вероятностью случайного события. Будем обозначать вероятность события A выражением

.

В рассматриваемом случае вероятность появления карты-дамы равна . Очевидно, что частота при i-той серии экспериментов представляет собой оценку вероятности по экспериментальным данным. Из этого также следует, что вероятность невозможно определить по результатам эксперимента. Ее можно только оценивать, причем оценка будет тем лучше, чем больше число опытов n.

Вероятность многих событий можно определять теоретически. Если в колоде 36 карт и среди них 4 дамы, то из 36 возможных событий только 4 являются положительными. Следовательно, вероятность появления дамы при единственном эксперименте равна отношению числа положительных исходов (4) к общему числу вариантов . Вероятность того, что это будет дама-пик равна , а вероятность того, что это будет красная дама (или бубна, или черва) равна .

Очевидными являются следующие утверждения:

1) вероятность события, которое не может осуществиться при заданном комплексе условий, равна 0;

2) вероятность события, которое происходит неизбежно при определенном комплексе условий, равна 1. Такие события называются неизбежными или достоверными.

1.2. Классификация случайных событий

Начнем рассмотрение этого вопроса с самого простого случая – двух событий (например, бросание монеты – орел или решка, рождение ребенка – мальчик или девочка, состояние контролируемого изделия – норма или брак, искажение кодового сигнала – ноль или единица и т.д.). Такие события несовместимые (то есть, не могут осуществиться одновременно) и противоположные. Если A – событие прямое, то – событие противоположное, и они составляют полную группу событий.

Полную группу могут составлять несколько событий, например, в колоде карт полную группу составляют 9 событий (шестерки, семерки, …, дамы, короли, тузы).

События называются независимыми, если вероятность появления одного события не зависит от того, произошло или не произошло другое событие. Если событие A зависит от события B и наоборот, то такие события называются зависимыми и их вероятности записываются в виде или . События бывают простыми и сложными. Сложные события состоят из простых и формируются из них с помощью логических операций «и» и «или». Два простых события A и B образуют событие C, состоящее в появлении или события A, или события B, или и того (A) и другого (B) события. Событие C называется суммой событий A и B. Суммой событий называется событие C, состоящее в появлении хотя бы одного из событий рассматриваемой совокупности.

Два простых события A и B образуют сложное событие D, состоящее в появлении и события A, и события B. События A и B должны быть совместимыми, то есть они могут появляться вместе. Событие D называется произведением событий A и B, то есть . Произведением нескольких совместимых событий называется событие D, состоящее в совместном появлении всех событий , то есть .