Тема 2 динамічні характеристики типових ланок

2.1 Контрольні питання

1. Що таке типова ланка?

2. Передаточні функції диференцюючої, форсуючої, інтегруючої, ізодромної, інерційної (аперіодичної) першого порядку, коливальної, консервативної ланок.

3. Визначення часових динамічних характеристик.

4. Перелічити частотні динамічні характеристики.

5. Фізична суть амплітудної та фазової частотних характеристик.

6. Алгебраїчна, тригонометрична та показова форми представлення комплексних функцій.

7. Складання, віднімання, множення та ділення комплексних функцій.

8. Знаходження частотної передаточної функції, АЧХ, ФЧХ, АФЧХ, ЛАЧХ, ЛФЧХ.

9. Що таке частота сполуки?

10. Що таке частота зрізу?

2.2 Домашнє завдання

Знайти аналітичні вирази та подати графічно динамічні ха­рактеристики диференціюючої, форсуючої, інтегруючої та ізодромної ланок.

2.3 Аудиторна робота

Знайти аналітичні вирази та подати графічно динамічні характеристики інерційної, коливальної та консервативної ланок.

Приклад: Отримання динамічних характеристик коливальної та консервативної ланок.

Рішення. Диференціальне рівняння коливальної ланки може бути подано у вигляді

, (2.1)

де – стала часу, – параметр згасання.

Уведенням символу диференціювання рівнянню (2.1) надамо вигляд

звідки передаточна функція знаходиться таким чином:

. (2.2)

Характеристичне рівняння знаходиться, якщо знаменник у рівнянні (2.2) прирівняти до нуля, тобто

. (2.3)

Воно буде мати два кореня:

. (2.4)

При корені будуть уявними, а коливання на виході ланки – незатухаючими. Це консервативна ланка. Частота коливань . При корені будуть комлексними, а коливання на виході ланки будуть затухаючими. Це коливальна ланка. Частота коливань . При корені будуть дійсними, а перехідний процес буде аперіодичним другого порядку. У цьому випадку передаточну функцію (2.2) можна представити у вигляді

,

тобто аперіодична ланка другого порядку еквівалентна двом послідовно з'єднаним аперіодичним ланкам першого порядку. Перехідна функція являє собою реакцію ланки на одиничну східчасту дію при нульових початкових умовах і визначається виразом

. (2.5)

На рис. 2.1 показані перехідні характеристики коливальної ланки для різних значень у залежності від безрозмірного часу при . Якщо (консервативна ланка),

.

Вагова функція може бути отримана шляхом прийняття похідної від за часом.

Частотна передаточна функція отримується шляхом формальної заміни у передаточній функції (2.2) на , де , – частота .

. (2.6)

АЧХ знаходять як модуль частотної передаточної функції, який дорівнює відношенню модуля чисельника до модуля знаменника.

. (2.7)

У даному випадку можна записати , , . Частота, що відповідає співвідношенню , зветься частотою сполуки. Частота, яка відповідає максимуму АЧХ, зветься резонансною частотою і визначається залежністю

.

На рис. 2.2 зображена АЧХ.

ФЧХ визначається як аргумент частотної передаточної функції. Чисельник у (2.6) можна записати у вигляді . Тоді ФЧХ являтиме собою різницю аргументів чисельника та знаменника

. (2.8)

ЛАЧХ визначається за виразом

. (2.9)

Аналогічно АЧХ можна записати

.

Рівність (2.9) можна переписати у вигляді

. (2.10)

Побудова першого додатку не є складною. Другий додаток може бути побудований у функції відносної частоти для різних значень параметра згасання у вигляді універсальних (нормованих) кривих (рис. 2.3). Для побудови істинної ЛАЧХ необхідно вибрати нормовану ЛАЧХ, яка відповідає даному значенню , підняти її паралельно самій собі на та по осі частот від відносної частоти перейти до дійсної діленням на .

У функції тієї ж відносної частоти на рис. 2.3 нанесені нормовані ЛФЧХ, побудовані за виразом (2.8).

Для істинну ЛАЧХ приблизно можна замінити асимптотичною ЛАЧХ, яка будується за виразом (2.10) наступним чином.

При . (2.11)

Ця залежність вважається справедливою для усіх .

При . (2.12)

Ця залежність вважається справедливою для усіх .

Рівняння (2.11), (2.12) являють собою асимптоти істинної ЛАЧХ. Вони перехрещуються на частоті сполуки . На рис. 2.4 зображена асимптотична ЛАЧХ. При зміні на одну декаду функція (2.12) змінюється на -40 дБ, тобто її нахил складає -40 дБ/дек.