Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1301 вуз, 5069 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Поволжский государственный технологический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:
ФНП_Лекц_ПС.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.04.2025
Размер:
249.86 Кб
Скачать
☆
►Содержание►

Функции нескольких переменных (фнп)

1.1. Определение функции нескольких переменных

При рассмотрении многих вопросов из различных областей знания приходится изучать такие зависимости между переменными величинами, когда числовые значения одной из них полностью определяются значениями нескольких других.

Например, изучая физическое состояние какого-либо тела, приходится наблюдать изменение его свойств от точки к точке. Каждая точка тела задается тремя координатами: x, y, z. Поэтому, изучая, скажем, распределение плотности, заключаем, что плотность тела зависит от трех переменных: x, y, z. Если физическое состояние тела к тому же еще и меняется с течением времени t, то та же плотность будет зависеть уже от значений четырех переменных: x, y, z, t.

Другой пример: изучаются издержки производства на изготовление единицы некоторого вида продукции. Пусть: x - затраты по материалам, y - расходы на выплату заработной платы работникам, z - амортизационные отчисления. Очевидно, что издержки производства зависят от значений названных параметров x, y, z.

Определение 1.1 Если каждой совокупности значений "n" переменных

из некоторого множества D этих совокупностей соответствует своё единственное значение переменной z, то говорят, что на множестве D задана функция

"n" переменных.

Множество D, указанное в определении 1.1, называется областью определяния или областью существования этой функции.

Если рассматривается функция двух переменных, то совокупности чисел

обозначаются, как правило, (x, y) и интерпретируются как точки координатной плоскости Oxy, а область определения функции z = f ( x, y ) двух переменных изобразится в виде некоторого множества точек на плоскости Oxy.

Так, например, областью определения функции

является множество точек плоскости Oxy, координаты которых удовлетворяют соотношению

т. е. представляет собой круг радиуса r с центром в начале координат.

Для функции

областью определения служат точки, которые удовлетворяют условию

т. е. внешние по отношению к заданному кругу.

Часто функции двух переменных задаются в неявном виде, т. е. как уравнение

связывающее три переменные величины. В этом случае каждую из величин x, y, z можно рассматривать как неявную функцию двух остальных.

Геометрическим изображением (графиком) функции двух переменных z = f ( x, y ) является множество точек P ( x, y, z) в трехмерном пространстве Oxyz, координаты которых удовлетворяют уравнению z = f ( x, y ).

Графиком функции непрерывных аргументов, как правило, является некоторая поверхность в пространстве Oxyz, которая проектируется на координатную плоскость Oxy в область определения функции z= f ( x, y ).

Так, например, (рис. 1.1) графиком функции является верхняя половина сферы, а графиком функции

- нижняя половина сферы.

Графиком линейной функции z = ax + by + с является плоскость в пространстве Oxyz, а графиком функции z = сonst служит плоскость, параллельная координатной плоскости Oxyz.

Заметим, что функцию трех и большего числа переменных изобразить наглядно в виде графика в трехмерном пространстве невозможно.

В дальнейшем будем в основном ограничиваться рассмотрением функций двух или трех переменных, так как рассмотрение случая большего (но конечного) числа переменных производится аналогично.

1.2. Предел функции двух переменных

Рассмотрим плоскость и систему Oxy декартовых прямоугольных координат на ней (можно рассматривать и другие системы координат).

Из аналитической геометрии знаем, что каждой упорядоченной паре чисел ( x, y ) можно сопоставить единственную точку M плоскости и наоборот, каждой точке M плоскости соответствует единственная пара чисел.

Поэтому в дальнейшем, говоря о точке, мы будем часто подразумевать соответствующую ей пару чисел ( x, y ) и наоборот.

Определение 1.2 Множество пар чисел ( x, y ), удовлетворяющих неравенствам, называется прямоугольником (открытым).

На плоскости он изобразится прямоугольником (рис. 1.2) со сторонами, параллельными осям координат, и с центром в точке M0(x0y0).

Прямоугольник принято обозначать следующим символом:

Введем важное для дальнейшего изложения понятие: окрестность точки.

Определение 1.3 Прямоугольной δ-окрестностью (дельта-окрестностью) точки M0(x0y0) называется прямоугольник

с центром в точке M0 и с одинаковыми по длине сторонами 2δ.

Определение 1.4 Круговой δ - окрестностью точки M0(x0y0) называется круг радиуса δ с центром в точке M0, т. е. множество точек M(xy), координаты которых удовлетворяют неравенству:

Можно ввести понятия окрестностей и других видов, но для целей математического анализа технических задач, в основном, используются лишь прямоугольные и круговые окрестности.

Введём следующее понятие предела функции двух переменных.

Пусть функция z = f ( x, y ) определена в некоторой области ζ и M0(x0y0) - точка, лежащая внутри или на границе этой области.

Определение 1.5Конечное число A называется пределом функции f ( x, y ) при

и

если для любого положительного числа ε можно найти такое положительное число δ, что неравенство

выполняется для всех точек М(х,у) из области ζ, отличных от M0(x0y0), координаты которых удовлетворяют неравенствам:

Смысл этого определения состоит в том, что значения функции f ( х, у ) как угодно мало отличаются от числа А в точках достаточно малой окрестности точки М0.

Здесь в основу определения положены прямоугольные окрестности М0. Можно было бы рассматривать круговые окрестности точки М0 и тогда нужно было бы требовать выполнения неравенства

во всех точках М(х,у) области ζ, отличных от М0 и удовлетворяющих условию:

где

- расстояние между точками М и М0.

Употребительны следующие обозначения предела:

Учитывая определение предела функции двух переменных, можно перенести основные теоремы о пределах для функций одной переменной на функции двух переменных.

Например, теоремы о пределе суммы, произведения и частного двух функций.

1.3. Непрерывность функции двух переменных

Пусть функция z = f ( x ,y ) определена в точке M0(x0y0) и её окрестности.

Определение 1.6 Функция называется непрерывной в точке M0(x0y0), если

Если функция f ( x ,y ) непрерывна в точке M0(x0y0), то

Поскольку

То есть, если функция f ( x ,y ) непрерывна в точке M0(x0y0), то бесконечно малым приращениям аргументов в этой области соответствует бесконечно малое приращениеΔz функции z.

Справедливо и обратное утверждение: если бесконечно малым приращениям аргументов соответствует бесконечно малое приращение функции, то функция непрерывна

Функцию, непрерывную в каждой точке области, называют непрерывной в области. Для непрерывных функций двух переменных, так же, как и для функции одной переменной, непрерывной на отрезке, справедливы основополагающие теоремы Вейерштрасса и Больцано - Коши.

Справка: Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815 - 1897) - немецкий математик. Бернард Больцано (1781 - 1848) - чешский математик и философ. Огюстен Луи Коши (1789 - 1857) - французский математик, президент французской Академии наук (1844 - 1857).

Пример 1.4. Исследовать на непрерывность функцию

Решение

Данная функция определена при всех значениях переменных x и y, кроме начала координат, где знаменатель обращается в нуль.

Многочлен x2+y2 непрерывен всюду, а значит и непрерывен корень квадратный из непрерывной функции.

Дробь же будет непрерывной всюду, кроме точек, где знаменатель равен нулю. То есть рассматриваемая функция непрерывна на всей координатной плоскости Оху, исключая начало координат.

Пример 1.5. Исследовать на непрерывность функцию z=tg(x,y). Тангенс определен и непрерывен при всех конечных значениях аргумента, кроме значений, равных нечетному числу величины π/2, т.е. исключая точки, где

При каждом фиксированном "k" уравнение (1.11) определяет гиперболу. Поэтому рассматриваемая функция является непрерывной функцией x и y , исключая точки, лежащие на кривых (1.11).

1.4. Частные производные первого порядка

Будем рассматривать функции трех независимых переменных. Пусть в некоторой трехмерной области Vзадана функция u=f(x,y,z) переменных x,y,z и пусть M0(x0,y0,z0) - некоторая внутренняя точка V.

Дадим независимому переменному x приращение Δx=x-x0, тогда функция и получит так называемое частное приращение по x:

Определение 1.7 Если существует конечный предел отношения частного приращения по x функции f(x,y,z) в точке M0(x0,y0,z0) к вызвавшему его приращению Δx при Δx 0, то этот предел называется частной производной по х функции u=f(x,y,z) в точке М0 и обозначается одним из символов:

По определению,

Частные производные по y и по z определяются аналогично:

Производные f'x, f'y, f'z называются ещё и частными производными первого порядка функции f(x,y,z), или первыми частными производными.

Так как частное приращение Δxf(M0) получается лишь за счет приращения независимой переменной x при фиксированных значениях других независимых переменных, то частная производная f'x(M0) может рассматриваться как производная функции f(x,y0,z0) одного переменного x. Следовательно, чтобы найти производную по x, нужно все остальные независимые переменные считать постоянными и вычислять производную по x как от функции одного независимого переменного x.

Аналогично вычисляются частные производные по другим независимым переменным.

Если частные производные существуют в каждой точке области V, то они будут функциями тех же независимых переменных, что и сама функция.

Пример 1.6. Найти частные производные функции u=z-xy, z > 0.

Решение

пример 1.7. Показать, что функция

удовлетворяет тождеству:

Решение

– данное равенство справедливо для всех точек М(х;у;z), кроме точки М0(a;b;c).

Рассмотрим функцию z=f(х,у) двух независимых переменных и установим геометрический смысл частных переменных z'x=f'x(х,у) и z'y=f'y(х,у).

В этом случае уравнение z=f(х,у) есть уравнение некоторой поверхности (рис.1.3). Проведем плоскость y = const. В сечении этой плоскостью поверхности z=f(х,у) получится некоторая линия l1 пересечения, вдоль которой изменяются лишь величины х и z.

Частная производная z'x (её геометрический смысл непосредственно следует из известного нам геометрического смысла производной функции одной переменной) численно равна тангенсу угла α наклона, по отношению к оси Ох , касательной L1 к кривой l1, получающейся в сечении поверхности z=f(х,у) плоскостью y = const в точке М(х,у,f(xy)): z'x= tgα.

В сечении же поверхности z=f(х,у) плоскостью х = const получится линия пересечения l2, вдоль которой изменяются лишь величины у и z. Тогда частная производная z'y численно равна тангенсу угла β наклона по отношению к оси Оу, касательной L2 к указанной линии l2 пересечения в точке М(х,у,f(xy)): z'x= tgβ.

пример 1.8. Какой угол образует с осью Ох касательная к линии:

в точке М(2,4,5)?

Решение

Используем геометрический смысл частной производной по переменной х (при постоянном у):

1.5. Полный дифференциал функции нескольких переменных. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

Определение 1.8. Пусть на области D задана функция двух переменных z =f(х,у), M0(x0;y0) - внутренняя точка области D, M(x0+Δx;y+Δy) - "соседняя" с M0 точка из D.

Рассмотрим полное приращение функции:

Если Δz представлено в виде:

где A, B - постоянные (не зависящие от Δx, Δy), - расстояние между M и M0, α(Δx,Δy) - бесконечно малая при Δx 0, Δy 0; тогда функция z =f(х,у) называется дифференцируемой в точке M0, а выражение

называется полным дифференциалом функции z =f(х;у) в точке M0.

Теорема 1.1. Если z =f(х;у) дифференцируема в точке M0, то

Доказательство

Так как в (1.16) Δx, Δy - произвольные бесконечно малые, то можно взять Δy =0, Δx≠0, Δx 0, тогда

после чего из (1.16) следует

Тогда

Аналогично доказывается, что

и теорема 1.1. доказана.

Замечание: из дифференцируемости z =f(х,у) в точке M0 следует существование частных производных. Обратное утверждение неверно (из существования частных производных в точке M0 не следует дифференцируемость в точке M0 ).

В итоге, с учётом теоремы 1.1 формула (1.18) примет вид:

Следствие. Функция, дифференцируемая в точке M0, непрерывна в этой точке (так как из (1.17) следует, что при Δx 0, Δy 0: Δz 0, z(M) z(M0)).

Замечание: Аналогично для случая трех и более переменных. Выражение (1.17) примет вид:

где

Используя геометрический смысл (рис.1.3) частных производных и можно получить следующее уравнение (1.24) касательной плоскости πкасs к поверхности: z =f(х,у) в точке C0(x0,y0,z0), z0=z(M):

Из сравнения (1.24) и (1.21) получаем геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных:

- приращение аппликаты z при движении точки С по касательной плоскости из точки С0 в точку

где находится из (1.24).

Уравнение нормали Lн к поверхности: z =f(х,у) в точке С0 получается, как уравнение прямой, проходящей через С0 перпендикулярно к касательной плоскости:

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности