2. Властивості опуклих множин і опуклих функцій

Означення 5.

Функція f(x), задана на опуклій множині ,називається - опуклою, якщо та виконується нерівність

(3)

- строго опуклою, якщо для всіх нерівність (1) виконується як строге

< (4)

- дуже опуклою з константою >0, якщо та виконується нерівність

(5)

Необхідно звернути увагу на наступне: 1. Функцію називають опуклою, якщо її графік цілком лежить не вище відрізка, що з'єднує дві її довільні точки. 2. Функцію називають строго опуклою, якщо її графік цілком лежить нижче відрізка, що з'єднує дві її довільні (не співпадаючі) точки. 3. Якщо функція сильно опукла, то вона одночасно строго опукла і опукла.

4. Опуклість функції можна визначити по матриці Гессе:

• Якщо Н(х)≥0 , то функція опукла;

• Якщо Н(х)>0 , то функція строго опукла;

• Якщо Н(х)≥lE , де Е – одинична матриця, то функція сильно опукла.

Приклад 5.

Дослідити на опуклість функцію .

3. Необхідні та достатні умови безумовного екстремуму функції. Необхідні умови першого порядку

Нехай є точка локального екстремуму функції f(х) на множені та функція f(х) диференційована в точці х^*. Тоді градієнт f(х) в цій точці дорівнює 0:

(6)

або

(7)

Точка, яка задовольняє умові (6) або (7) зветься стаціонарною.

Необхідні умови екстремуму функції другого порядку

Нехай є точка локального мінімуму (максимуму) функції f(х), визначеної на множені та функція f(х) двічі диференційована в цій точці. Тоді матриця Гессе функції f(х), обчисленая в точці х^*, є додатньо напіввизначеною (від’ємно напіввизначеною) тобто Н(х^*)≥0 (Н(х^*)≤0).

Достатні умови екстремуму

Нехай функція f(х) двічі диференційована в точці , її градієнт дорівнює 0, а матриця Гессе є додатньо визначеною (від’ємно визначеною) тобто та Н(х)>0 (Н(х)<0).

Тоді х^* - точка локального мінімуму (максимуму) функції f(х) на множені .

Перевірка виконання умов функції на екстремум.

Розглянемо матрицю Гессе в стаціонарній точці х^*

Н= =

Означення 6.

Кутовими минорами k-го порядку матриці nxn, де k≤n, називаються визначники, складені з елементів вихідної матриці, що стоять на перетині k верхніх рядків і k лівих стовпців.

Означення 7.

Головними минорами m-го порядку матриці nxn, де m≤n, називаються визначники, складені з елементів вихідної матриці, що залишилися після викреслювання в ній будь-яких (m-n) рядків і (m-n) стовпців з однаковими номерами.

Критерій Сильвестра перевірки достатніх умов екстремуму.

1. Для того щоб матриця Гессе Н (х^*) була позитивно визначеною і стаціонарна точка х^* була точкою локального мінімуму, необхідно і достатньо, щоб знаки кутових мінорів були строго додатні:

>0, >0, …., >0.

2. Для того щоб матриця Гессе Н (х^*) була негативно певної і стаціонарна точка х^* була точкою максимуму, необхідно і достатньо, щоб знаки кутових мінорів чергувалися, починаючи з негативного

<0, >0,…,(-1)ⁿ >0.

Приклад 6.

Знайти екстремум функції f(х) на множені R³